Gruppoide

Un gruppoide è una struttura algebrica che consiste in un insieme $ G $ con una operazione binaria chiusa.

Un gruppoide può essere considerato una generalizzazione dei concetti di gruppo e insieme, poiché non richiede che l'operazione sia associativa né che esista un elemento identità sia globale 

Le caratteristiche di un gruppoide

Ecco le caratteristiche principali di un gruppoide:

• Insieme base: Un gruppoide è definito su un insieme \( G \).
• Operazione binaria: Esiste un'operazione binaria chiusa \( \cdot: G \times G \to G \) che è definita su tutte le coppie di elementi di \( G \).

I gruppoidi sono usati in diversi contesti matematici, come nella teoria delle categorie, dove i morfismi tra oggetti formano gruppioidi, o in algebra omologica e in fisica teorica.

Esempio

L'insieme dei numeri naturali \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \) con l'operazione di addizione è un esempio di gruppoide.

In questa struttura \( ( \mathbb{N},+ ) \), l'operazione binaria è l'addizione, che è chiusa perché la somma di qualsiasi due numeri naturali è sempre un altro numero naturale:

$$ \forall \ a, b \in \mathbb{N}, \ a+b \in \mathbb{N} $$

Non sono necessarie altre proprietà per definire un gruppoide.

Esempio 2

Una struttura composta dai numeri naturali \( \mathbb{N} \) e dall'operazione di sottrazione non è un gruppoide, perché la differenza tra due numeri naturali potrebbe essere un numero negativo, che non appartiene a \( \mathbb{N} \).

Ad esempio, \( 2 - 5 = -3 \), un numero intero negativo, dimostrando che l'operazione non è chiusa in \( \mathbb{N} \).

Esempio 3

Un altro esempio di gruppoide è l'insieme \( \mathbb{N} \) con l'operazione di moltiplicazione. In questa struttura \( ( \mathbb{N}, \cdot ) \), l'operazione binaria è la moltiplicazione, che è chiusa perché il prodotto di due numeri naturali è sempre un altro numero naturale:

$$ \forall \ a, b \in \mathbb{N}, \ a \cdot b \in \mathbb{N} $$

Il gruppoide nelle strutture algebriche

La gerarchia delle strutture algebriche si articola attraverso l'aggiunta di proprietà specifiche a partire dal gruppoide.

• Semigruppo: Aggiunge alla struttura del gruppoide l'associatività dell'operazione, assicurando che l'ordine in cui vengono eseguite le operazioni non modifichi il risultato.
• Monoide: Amplia il semigruppo includendo un elemento neutro, che rispetto all'operazione lascia inalterato qualsiasi altro elemento dell'insieme.
• Gruppo: Completa la struttura del monoide assicurando che ogni elemento abbia un inverso, permettendo così le operazioni di divisione tra gli elementi.

Questa sequenza mostra come ogni struttura algebrica sia costruita su quella precedente, aumentandone la complessità e arricchendone le funzionalità.

Gruppoidi additivi e moltiplicativi

In algebra, un gruppoide può essere classificato come moltiplicativo o additivo a seconda della natura dell'operazione binaria che definisce la struttura.

• Gruppoide moltiplicativo
  Questo tipo di gruppoide indica l'operazione binaria come una moltiplicazione. In questo caso, l'operazione è spesso denotata con i simboli · o ×.

  Ad esempio, nel gruppoide moltiplicativo \( (N, \cdot) \), che coinvolge l'insieme dei numeri naturali \(N\) con l'operazione di moltiplicazione, il prodotto di due elementi \(x\) e \(y\) è scritto semplicemente come \(xy\) senza l'uso esplicito del simbolo di moltiplicazione tra di essi.

• Gruppoide additivo
  In un gruppoide additivo, l'operazione binaria è trattata come un'addizione. Il simbolo più comunemente utilizzato per denotare questa operazione è \(+\).

  L'insieme dei numeri naturali \(N\) con l'operazione di addizione, denotato come \( (N, +) \), è un esempio di gruppoide additivo. Qui, l'addizione di due elementi \(x\) e \(y\) è espressa come \(x + y\).

La scelta di rappresentare un gruppoide come moltiplicativo o additivo non determina solo la notazione ma anche le proprietà assiomatiche e il comportamento dell'operazione binaria all'interno di quella struttura algebrica.