Struttura algebrica

Una struttura algebrica è una struttura matematica definita su un insieme non vuoto $ A $, i cui elementi possono essere di qualunque natura, a condizione che sull'insieme siano definite una o più operazioni.

Le operazioni di una struttura algebrica possono essere sia interne, cioè il risultato dell'operazione su elementi di $ A $ resta all'interno di $ A $, sia esterne, cioé coinvolgono elementi di altri insiemi.

La natura di queste operazioni e le proprietà che esse soddisfano determinano il tipo di struttura algebrica. Ad esempio:

Gruppoidi: E' la forma base di una struttura algebrica, caratterizzata da un insieme e una operazione binaria chiusa, dove ogni operazione tra elementi dell'insieme restituisce un altro elemento dell'insieme.
Semigruppi: Costruisce sul gruppoide aggiungendo l'associatività, garantendo che l'ordine di esecuzione delle operazioni non influenzi il risultato.
Monoidi: Estende il semigruppo con l'aggiunta di un elemento neutro, che non modifica gli altri elementi nell'operazione.
Gruppi: Un insieme $ A $ con un'operazione binaria interna che soddisfa le proprietà di chiusura, associatività, identità e invertibilità.
Anelli: Un insieme $ A $ con due operazioni binarie (tipicamente addizione e moltiplicazione) che soddisfa proprietà come la chiusura, l'associatività per entrambe le operazioni, la distributività della moltiplicazione rispetto all'addizione, e l'esistenza di un elemento neutro per l'addizione.
Campi: Sono anelli in cui entrambe le operazioni (addizione e moltiplicazione) sono abeliane (commutative) e ogni elemento non nullo ha un inverso moltiplicativo.

L'insieme $ A $ è chiamato il sostegno della struttura, e l'intero sistema costituito dal sostegno e dalle operazioni definite su di esso rappresenta la struttura algebrica in sé.

Ogni struttura algebrica ha regole specifiche che regolano il comportamento delle operazioni e influenzano le proprietà dell'insieme.

Esempio

Prendiamo l'insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N} $, che include tutti i numeri interi non negativi $ \{0, 1, 2, 3, \ldots\} $.

Definiamo l'operazione di addizione $ + $ su questo insieme.

Possiamo esaminare come $ (\mathbb{N}, +) $ formi una specifica struttura algebrica, che in questo caso è un monoide commutativo.

Vediamo le proprietà soddisfatte:

Chiusura: La somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale.
Ad esempio, $ 2 + 3 = 5 $ e $ 5 \in \mathbb{N} $.
Associatività: L'addizione è associativa. Ciò significa che per qualsiasi tre numeri naturali $ a $, $ b $, e $ c $, vale la proprietà $ (a + b) + c = a + (b + c) $.
Ad esempio: $$ (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 $$ e $$ 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 $$ quindi $$ (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) $$
Elemento neutro: Lo zero ($ 0 $) è l'elemento neutro dell'addizione, poiché $ a + 0 = a $ per ogni $ a $ in $ \mathbb{N} $.
Ad esempio, $ 5 + 0 = 5 $.
Commutatività: L'addizione è anche commutativa, il che significa che $ a + b = b + a $ per qualsiasi $ a $ e $ b $ in $ \mathbb{N} $.
Ad esempio, $ 3 + 4 = 4 + 3 $.

Anche se i numeri naturali con l'addizione formano un monoide commutativo, non formano un gruppo perché tra le proprietà manca l'invertibilità per ogni elemento.

Per esempio, non esiste un numero naturale che sommato a 5 dà 0. In altre parole, l'addizione di numeri naturali non ha sempre un inverso additivo all'interno di $ \mathbb{N} $. L'unico numero naturale che ha un elemento inverso è lo 0, il cui inverso è 0 stesso perché 0+0=0.

Questa struttura algebrica è un fondamento essenziale in matematica e ha numerose applicazioni in diverse aree come teoria dei numeri, informatica, e oltre.