I gruppi

I gruppi sono strutture fondamentali in matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra astratta.

Un gruppo $ (G, \circ ) $ è definito come un insieme G di elementi che soddisfa quattro proprietà specifiche riguardo a un'operazione binaria (indicata di solito con $ \circ $) che associa a due elementi dell'insieme un terzo elemento dello stesso insieme.

Quindi, formalmente un gruppo $ (G, \circ ) $ è una coppia formata da un insieme non vuoto $ G $ e da un'operazione binaria chiusa $ \circ : G × G \rightarrow G $.

Le quattro proprietà che definiscono un gruppo sono:

Chiusura
Per ogni coppia di elementi $a$ e $b$ in $G$, il risultato dell'operazione $a \circ b$ è anch'esso in $G$. $$ \circ : G × G \rightarrow G $$
Associatività
Per ogni $a$, $b$, e $c$ in $G$, vale la relazione $$ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) $$
Da notare che non è necessario che in un gruppo sia soddisfatta anche la proprietà commutativa. Se l'operazione $ \circ $ del gruppo è anche commutativa, ovvero se $a \circ b = b \circ a$ per tutti gli $a, b \in G$, allora il gruppo si chiama gruppo abeliano (o gruppo commutativo).
Elemento neutro
Esiste un elemento $e$ in $G$, detto elemento neutro, tale che per ogni elemento $a$ in $G$, l'operazione di $a$ con $e$ lascia $a$ invariato, ovvero $$ e \circ a = a \circ e = a $$
Elemento inverso
Per ogni elemento $a$ in $G$, esiste un elemento $a'$ in $G$ tale che $$ a \circ a' = a' \circ a = e $$ dove $e$ è l'elemento neutro.

I gruppi forniscono un modo per studiare simmetrie e hanno applicazioni in molti settori della matematica, della fisica, della chimica, dell'informatica e in altre scienze.

Per esempio, i gruppi possono descrivere la simmetria delle strutture geometriche, le simmetrie delle equazioni differenziali, le operazioni di simmetria in fisica delle particelle, e molti altri concetti relativi alla simmetria e alla conservazione.

Un esempio di gruppo

Un esempio semplice e molto comune di gruppo è l'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ con l'operazione di addizione $+$.

Verifichiamo le proprietà:

Chiusura
Se prendi due numeri interi qualsiasi, la loro somma è ancora un intero.
Ad esempio, $3 + 5 = 8$, e $8$ è un intero.
Associatività
L'addizione di interi è associativa.
Per esempio, $(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)$.
Elemento neutro
Lo zero $0$ è l'elemento neutro per l'addizione, perché qualunque intero sommato a $0$ non cambia.
Ad esempio, $5 + 0 = 5$.
Elemento inverso
Ogni intero $n$ ha un inverso che è $-n$, perché $n + (-n) = 0$.
Ad esempio, l'inverso di $3$ è $-3$, perché $3 + (-3) = 0$.

Inoltre, l'addizione di interi è commutativa, quindi questo gruppo è anche un gruppo abeliano.