La derivata di una funzione
La derivata di una funzione misura quanto una funzione cambia al variare della variabile indipendente.
In altre parole, la derivata di una funzione in un punto specifico misura il tasso di variazione istantaneo della funzione in quel punto.
E' un concetto fondamentale del calcolo differenziale.
A cosa serve? Le derivate possono essere utilizzate in molti contesti differenti. Ad esempio, in fisica ti permettono di calcolare la velocità dalla legge di movimento. In economia le derivate ti consentono di capire se un mercato è in crescita o in declino. Sono solo due esempi banali. Le derivate sono usate anche in ingegneria e in tutte le discipline scientifiche e tecniche.
Un esempio pratico
Ad esempio, immagina di avere una funzione con un grafico a "onda".
In alcuni tratti la funzione cresce, mentre in altri è costante oppure decresce.
Dal punto di vista geometrico, la derivata è l'inclinazione della retta tangente alla funzione nel punto che stai analizzando.
A seconda del punto x che consideri, la derivata della funzione ha valori diversi.
Come si calcola la derivata di una funzione?
La nozione di derivata è strettamente legata a quella di limite.
Infatti, la definizione matematica della derivata di una funzione f(x) in un punto x=x0 è data dal limite:
$$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$
Se questo limite esiste, allora la funzione è detta derivabile in x0 e il valore di questo limite è la derivata di f in x0.
Ti faccio un esempio pratico.
Considera la funzione f(x)=x2
$$ f(x) = x^2 $$
Per calcolare la sua funzione derivata devi utilizzare il limite precedente in un generico punto x del dominio della funzione.
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$
Sostituisci f(x)=x2
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ (x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} $$
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2- x^2}{\Delta x} $$
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ 2x \Delta x + \Delta x^2}{\Delta x} $$
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x $$
Quando Δx tende a zero, il limite è uguale a 2x
$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x + \Delta x = 2x $$
La funzione f'(x)=2x è la derivata della funzione f(x)=x2 e ti permette di individuare la pendenza della funzione in ogni punto.
$$ f'(x) = 2x $$
A seconda del segno della funzione derivata f'(x) puoi dedurre l'andamento della funzione f(x)
- Se la derivata prima è positiva f'(x)>0, la funzione f(x) sta crescendo
- Se la derivata prima è nulla f'(x)=0, la funzione f(x) è costante
- Se la derivata prima è negativa f'(x)<0, la funzione f(x) sta decrescendo
Se osservi le due funzioni f(x) e f'(x) sullo stesso grafico, tutto questo diventa più chiaro.
La notazione di Leibniz
Per rappresentare le derivate puoi usare anche una notazione più avanzata, chiamata "notazione di Leibniz".
In questa notazione, la derivata di una funzione y = f(x) rispetto a x è denotata come dy/dx.
$$ f'(x) = \frac{d \ f(x)}{ dx } $$
Questa notazione è utile in particolare modo quando devi lavorare con funzioni di più variabili, o quando vuoi calcolare le derivate di ordini superiori, cioè le derivate di derivate.
