Le derivate di ordine superiore
Le derivate di ordine superiore si ottengono derivando una funzione più volte.
Se derivi una funzione una volta, ottieni la derivata prima.
Se derivi quella stessa funzione una seconda volta, ottieni la derivata seconda, e così via.
Puoi ripetere questo processo per calcolare la derivata di terzo, quarto, n-esimo ordine, ecc.
A cosa servono le derivate di ordine superiore? Le derivate di ordine superiore sono un concetto molto importante in calcolo differenziale, perché forniscono informazioni più dettagliate sul comportamento della funzione originale. Ad esempio, la derivata seconda ti permette di capire se la funzione è concava o convessa in un tratto oppure se c'è un punto di flesso. In fisica, la derivata seconda ti consente di calcolare l'accelerazione rispetto al tempo.
Ecco un esempio pratico.
Considera una funzione f(x)
$$ f(x) = x^3 $$
Quando si deriva una funzione una volta, ottieni la derivata prima di quella funzione.
La funzione è una potenza, quindi sai già che per ottenere la derivata devi usare la formula nxn-1
$$ f'(x) = \frac{d \ f(x)}{dx} = 3 \cdot x^{3-1} $$
La derivata prima della funzione è f'(x) = 3x2.
$$ f'(x) = 3 \cdot x^2 $$
Ma puoi continuare a derivare. Se calcoli la derivata della derivata prima, ottieni la derivata seconda.
$$ f''(x) = \frac{d \ 3 \cdot x^2}{dx} $$
$$ f''(x) = 3 \cdot 2 \cdot x^{2-1} $$
La derivata seconda della funzione è f''(x) = 6x.
$$ f''(x) = 6 x $$
Ora puoi ottenere la derivata terza, calcolando la derivata della derivata seconda.
Nel caso delle derivate di ordine superiore maggiore di 2, si indica l'ordine in apice tra due parentesi tonde.
$$ f^{(3)}(x) = \frac{d \ 6 x}{dx} $$
$$ f^{(3)}(x) = 6 \cdot 1 \cdot x^{1-1} $$
$$ f^{(3)}(x) = 6 \cdot 1 \cdot 1 $$
Quindi la derivata terza della funzione è f(3)(x)=6
$$ f^{(3)}(x) = 6 $$
Puoi ripetere questo processo un numero qualsiasi di volte.
Se prendi la derivata n-esima di una funzione, si dice che stai prendendo la derivata di ordine n.
Ricorda però che se la derivata n-esima diventa uguale zero, tutte le derivate successive saranno sempre uguali a zero. Questo accade perché la derivata di una costante è nulla.
