Il limite di una funzione

Cos'è il limite di una funzione

Il limite di una funzione f(x) per x tendente a x₀ è un numero finito o infinito a cui si avvicina la funzione f(x) quando la variabile indipendente x si avvicina a x₀.

Dove x₀ è un valore del dominio della funzione. Può anche essere infinito (∞).

Prima di leggere la definizione di limite è importante capire cosa sono e a cosa servono tramite qualche esempio pratico.

Un esempio pratico

Disegna il grafico della funzione f(x)=x+1.

Il suo campo di definizione (dominio) va da meno infinito (-∞) a più infinito (+∞).

Prendi un punto qualsiasi del dominio. Ad esempio x₀=2.

Qual è il limite della funzione f(x)=x+1 per x tendente a x₀.

Se ti avvicini da destra a x₀=2, la funzione f(x) si avvicina a tre f(x)→3.

Se ti avvicini da sinistra a x₀=2, la funzione f(x) si avvicina a tre f(x)→3

Quando la funzione f(x) si avvicina allo stesso valore l=3 sia da destra che da sinistra, si dice che l=3 è il limite della funzione per x tendente a x₀=2.

 

Questo è solo un esempio semplice per spiegarti come funziona un limite.

Può anche capitare che il limite della funzione non esista in un punto.

Esempio 2

Disegna la funzione f(x)=1/x.

Poi calcola il limite per x tendente a x₀=0.

Se ti avvicini da destra a x₀=0 la funzione f(x) tende a più infinito (+∞).

Se ti avvicini da sinistra a x₀=0 la funzione tende a meno infinito (-∞).

In questo caso la funzione tende a due valori diversi.

Quindi, il limite della funzione per x tendente a x₀ non esiste.

Esempio 3

Il limite non è detto che sia sempre un numero finito.

Può anche capitare che il limite della funzione per x tendente a x₀ esista e sia infinito.

Ad esempio, disegna la funzione f(x)=1/x².

Poi calcola il limite della funzione per x tendente a zero (x₀=0).

Se ti avvicini a x₀=0 da destra, la funzione f(x) tende a più infinito (+∞).

Se ti avvicini a x₀=0 da sinistra, la funzione f(x) tende a più infinito.

In questo caso la funzione tende a più infinito sia da destra che da sinistra.

Quindi, il limite della funzione per x tendente a x₀=0 è più infinito.

Negli esempi precedenti x₀ è un numero finito. In realtà, tu puoi calcolare il limite anche per x tendente a infinito.

Esempio 4

Disegna il grafico della funzione f(x)=1/x²

Poi calcola il limite per x tendente a più infinito.

Quando ti avvicini a x₀=+∞ da sinistra, la funzione f(x) tende a zero.

In questo caso non devi calcolare il limite da destra perché più infinito (+∞) non è un numero ma un simbolo e puoi avvicinarti solo da sinistra.

Quindi, puoi già affermare che il limite della funzione f(x) per x tendente a +∞ è zero.

Puoi calcolare il limite anche per x tendente a meno infinito. Anche il limite per x tendente a meno infinito è zero ma si tratta soltanto di una coincidenza. Potrebbe anche non esistere o essere diverso.

Ora sai cosa sono i limiti di funzione e a cosa servono.

Dopo questa spiegazione pratica puoi leggere la definizione di limite e capirla meglio.