Le forme indeterminate dei limiti
Le forme indeterminate dei limiti in matematica sono espressioni che non puoi valutare direttamente a causa di contraddizioni o ambiguità inerenti, come 0/0 o ∞/∞.
Per risolverle o determinare il comportamento del limite devi utilizzare delle tecniche speciali, come la regola di l'Hôpital.
- Zero diviso per zero
La divisione 0/0 è una forma indeterminata. Potresti essere tentato di dire che qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero. Quindi, il risultato della divisione 0/0 dovrebbe essere qualsiasi numero. D'altra parte, lo zero diviso per qualsiasi numero è sempre zero, quindi 0/0 dovrebbe essere anche zero. Questa contraddizione significa che 0/0 non può essere assegnato a nessun valore.$$ \frac{0}{0} $$
- Infinito diviso per infinito
Anche ∞/∞ è una forma indeterminata. Potrebbe sembrare intuitivo pensare che la risposta dovrebbe essere uno, ma considera questa situazione. Hai due funzioni che tendono a infinito ma una delle due cresce più velocemente dell'altra. Se segui questo ragionamento, ∞/∞ potrebbe essere qualsiasi numero. Pertanto, la divisione è un'altra forma indeterminata.$$ \frac{\infty}{\infty} $$
- Zero per infinito
Il prodotto 0*∞ è un'altra forma indeterminata. Potresti pensare che la risposta dovrebbe essere zero, perché qualsiasi numero moltiplicato per zero è zero. Ma d'altra parte, qualsiasi numero moltiplicato per infinito è infinito, quindi c'è una contraddizione in questo ragionamento.$$ 0 \cdot \infty $$
- Infinito meno infinito
La differenza ∞-∞ è un'altra forma indeterminata, perché non sai cono precisione "quanto" infinito stai sottraendo da "quanto" infinito. Ricorda che l'infinito ∞ non è un numero ma un simbolo.$$ \infty - \infty $$
- Zero alla potenza zero:
Anche 00 è una forma indeterminata. Qualunque numero (escluso lo zero) elevato a zero è uno, ma zero elevato a qualsiasi numero (escluso lo zero) è zero, quindi c'è una contraddizione.$$ 0^0 $$
- Infinito alla potenza zero
Un'altra forma indeterminata è la potenza ∞0. Infatti, qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale a uno, ma l'infinito elevato a qualsiasi numero (diverso da zero) è uguale a infinito. Quindi c'è una contraddizione.$$ \infty^0 $$
- Uno elevato a infinito
Anche 1∞ e 1-∞ sono forme indeterminate. Potresti pensare che qualsiasi numero (escluso lo zero) elevato all'infinito tende a essere infinitamente grande, mentre uno elevato a qualsiasi potenza rimane uno. Quindi 1∞ dovrebbe essere uguale a uno. La questione diventa complicata se stai studiando il comportamento di una funzione in un limite. Ad esempio, se hai due funzioni, f(x) e g(x), dove f(x) tende a 1 e g(x) tende a infinito quando x tende a un certo valore, allora l'espressione (f(x))g(x) ha la forma 1∞. A seconda delle caratteristiche delle funzioni f(x) e g(x), il limite di (f(x))g(x) potrebbe essere qualsiasi numero. Pertanto, questi casi richiedono un'analisi più attenta per determinare il reale comportamento della funzione.$$ 1^{ \pm \infty } $$
Le forme indeterminate sono un concetto specifico nel calcolo dei limiti.
Per risolverle puoi usare i teoremi dei limiti, come il teorema di l'Hôpital o altre tecniche speciali di analisi.
In generale, devi studiare come si comporta la funzione quando si avvicina a questi valori indeterminati.
Qual è la differenza tra un'operazione indefinita e indeterminata? Il termine "indefinito" in matematica è spesso usato per descrivere un'operazione che non è possibile effettuare. Un esempio di operazione indefinita è la divisione per zero. Il termine "indeterminato" è, invece, un termine specifico usato per descrivere certe forme che appaiono nel calcolo dei limiti, che non possono essere valutate direttamente ma richiedono ulteriore analisi. Queste forme indeterminate includono 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0*∞, 1∞, 00, e ∞0. Quindi, malgrado qualche somiglianza, i due termini riguardano situazioni diverse. In particolare, le forme indeterminate sono un concetto specifico nel calcolo dei limiti, mentre il termine "indefinito" ha un uso più generale e può riferirsi a una varietà di situazioni diverse in cui un'operazione o un calcolo matematico non è ben definito.
