La potenza delle permutazioni

La potenza di una permutazione consiste nel ripetere per $ k $ volte una permutazione $ \sigma $ su se stessa. $$ \sigma^k $$

Una permutazione è un riarrangiamento degli elementi di un insieme.

Se consideriamo una permutazione $\sigma$ di un insieme finito, la potenza $k$ di $\sigma$ (indicata come $\sigma^k$) è la permutazione ottenuta applicando $\sigma$ a se stessa $k$ volte.

L'ordine di una permutazione $\sigma$ è il minimo intero positivo $n$ tale che $\sigma^n$ sia la permutazione identità che non cambia alcuna posizione.

Esempio

Se abbiamo una permutazione $\sigma$ sull'insieme $ X = \{1, 2, 3\} $ definita come $\sigma = (1\ 2\ 3)$ nella notazione dei cicli.

In altre parole, quando applichiamo $\sigma = (1\ 2\ 3)$ una volta, succede questo:

1 va a 2
2 va a 3
3 va a 1

La stessa permutazione può essere espressa anche usando la notazione matriciale $$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$

Le prime potenze della permutazione sono le seguenti:

$\sigma^1 = \sigma$ = $ (1\ 2\ 3) $
$\sigma^2 = (1\ 3\ 2)$ applicando $\sigma$ nuovamente sui risultati di $\sigma$
Poiché 1 è andato a 2 nella prima applicazione di σ, guardiamo ora dove 2 va quando applichiamo σ di nuovo. Da σ, sappiamo che 2 va a 3. Quindi, applicando σ una seconda volta, 1 va a 3. Lo stesso ragionamento si segue per l'elemento 2 e 3. Ad esempio, nella prima applicazione di σ 2 va a 3 e nella seconda 3 va 1. Quindi, applicando σ una seconda volta, 2 va a 1 e via dicendo.
$\sigma^3 = id $ che è la permutazione identità, poiché ogni elemento torna alla sua posizione originale.
Ad esempio, 1 è andato a 2 nella prima applicazione di σ, 2 è andato a 3 nella seconda applicazione e, infine, 3 torna in 1 alla terza applicazione di σ. Quindi, applicando σ una terza volta 1 torna in 1. Lo stesso accade per gli altri elementi e il risultato è la permutazione identità.

Nel nostro esempio l'ordine di $\sigma$ è 3 perché dopo tre ripetizioni della permutazione si ottiene la permutazione identità.

Le permutazioni possono essere decomposte in cicli, che sono sottogruppi di elementi che vengono permutati ciclicamente tra di loro.

L'analisi dei cicli può aiutare a determinare l'effetto di potenze successive di una permutazione.