Ordine o periodo di una permutazione

L'ordine (o periodo) di una permutazione rappresenta il numero minimo di applicazioni successive della stessa permutazione necessario per riportare ogni elemento al suo punto di partenza originale.

In termini più formali, l'ordine di una permutazione è il numero di volte che la permutazione deve essere composta con se stessa fino a ottenere la permutazione identità, la quale lascia ogni elemento inalterato.

Per calcolare l'ordine di una permutazione, segui questi passaggi:

Rappresentazione ciclica
Converti la permutazione in una forma costituita da cicli disgiunti. Ogni ciclo individua un insieme di elementi che vengono ciclicamente scambiati tra loro.
Lunghezza dei cicli
Determina la lunghezza di ciascun ciclo identificato nella rappresentazione ciclica.
Minimo comune multiplo
Calcola il minimo comune multiplo delle lunghezze di tutti i cicli. Questo valore corrisponde all'ordine della permutazione.

L'ordine di una permutazione è quindi il più piccolo intero positivo per cui l'applicazione ripetuta della permutazione comporta la configurazione iniziale di tutti gli elementi.

Questa proprietà è cruciale nello studio delle strutture algebriche conosciute come gruppi, in particolare nel gruppo simmetrico, che include tutte le possibili permutazioni di un dato insieme finito.

Esempio

In questo esempio abbiamo una semplice permutazione (1 2 3)

$$ \sigma = (1 \ 2 \ 3) $$

Questo significa che 1 va in 2, 2 va in 3 e 3 va in 1.

In altre parole ogni elemento prende il posto del successivo tranne l'ultimo che prende il posto del primo.

Nella forma tabellare questa permutazione si scrive in questo modo $$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$

La permutazione ha un unico ciclo (1 2 3). Quindi, calcoliamo la lunghezza del ciclo.

$ \sigma(1) = 2 $
$ \sigma(2) = 3 $
$ \sigma(3) = 1 $

La permutazione impiega tre passaggi per far tornare alla configurazione iniziale.

Quindi, l'ordine della permutazione è 3.

Verifica. Facciamo una rapida verifica usando la notazione tabellare. $$ \sigma_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$ $$ \sigma_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = id $$ Dopo tre passaggi la permutazione torna alla configurazione iniziale (identità).

Esempio 2

Prendiamo come esempio la permutazione (1 2 3 4 6)

$$ \sigma = (1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 6) $$

In questa permutazione ogni numero è mandato nel successivo nella lista, trannte il quattro che salta al sei, e il 6 è mandato al primo elemento della lista.

In altre parole, questa permutazione ci dice che 1→2, 2→3, 3→4, 4→6, 6→1

In forma tabellare la permutazione è la seguente $$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 6 & 5 & 1 \end{pmatrix} $$

Prima di calcolare l'ordine, dobbiamo esprimere la permutazione (1,2,3,4,6) in forma di cicli disgiunti.

Il numero 5 non è incluso, quindi possiamo supporre che sia un punto fisso nella permutazione. In altre parole, non cambia posto.

Ora esaminiamo i cicli:

$ \sigma(1) = 2 $
$ \sigma(2) = 3 $
$ \sigma(3) = 4 $
$ \sigma(4) = 6 $
$ \sigma(6) = 1 $

Quindi, $ (1\ 2\ 3\ 4\ 6) $ è un ciclo di lunghezza 5, perché ci vogliono cinque applicazioni della permutazione per se stessa per tornare alla configurazione iniziale.

Poiché abbiamo solo un ciclo e la sua lunghezza è 5, l'ordine della permutazione è semplicemente 5.

Questo significa che applicando la permutazione 5 volte, tutti gli elementi ritornano alle loro posizioni originali.

Esempio 3

Prendiamo la permutazione (1 3 2)(4 5) composta da due cicli disgiunti.

$$ \sigma = (1\ 3\ 2)(4\ 5) $$

In forma tabellare la permutazione è la seguente $$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{pmatrix} $$

Per trovare l'ordine di una permutazione che consiste in più cicli, come nella permutazione , dobbiamo determinare il minimo comune multiplo (mcm) delle lunghezze di questi cicli.

Il ciclo $ (1\ 3\ 2) $ ha lunghezza 3 perché 1→3, 3→2, 2→1.
Il ciclo $ (4\ 5) $ ha lunghezza 2 perché 4→5, 5→4.

Ora, calcoliamo il minimo comune multiplo delle lunghezze dei cicli:

$$ mcm(3, 2) = 6 $$

Quindi, l'ordine della permutazione $ (1\ 3\ 2)(4\ 5) $ è 6.

Ciò significa che applicando la permutazione 6 volte, tutti gli elementi torneranno alla loro posizione originale.