La funzione coseno in trigonometria
Il coseno è una delle principali funzioni trigonometriche, insieme al seno e alla tangente.
Ma cosa rappresenta il coseno?
In un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo è definito come il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e l'ipotenusa del triangolo. Il coseno di un angolo θ è denotato come cos(θ). $$ \cos(θ) = \frac{ \text{cateto adiacente} }{ \text{ipotenusa} } $$ Il coseno varia tra -1 e 1 e si ripete ogni 360 gradi.
Per esempio, se abbiamo un triangolo rettangolo con un angolo di 60 gradi, e il lato adiacente a questo angolo è lungo 10 cm, mentre l'ipotenusa è lunga 20 cm, il coseno di questo angolo sarà:
$$ \cos(60°) = \frac{ 10 }{ 20 } = 0,5 $$
Il coseno di un angolo può variare tra -1 e 1, a seconda della posizione dell'angolo nel triangolo.
Ora, vediamo un esempio pratico.
Immagina una circonferenza con centro O e un raggio OA di lunghezza 1 (raggio unitario).
Ora, scegli un punto P sulla circonferenza goniometrica.
Disegna un triangolo rettangolo con l'ipotenusa che collega il centro della circonferenza O con il punto P.
Considera l'angolo θ
Il coseno è il rapporto tra il cateto adiacente all'angolo (OB) e l'ipotenusa (OP)
$$ \cos(θ) = \frac{\overline{OB}}{ \overline{OP} } $$
Dato che il raggio OP = 1 è unitario, possiamo anche affermare che il coseno dell'angolo θ è il segmento OB
$$ \cos(θ) = \frac{\overline{OB}}{ \overline{OP} } = \frac{\overline{OB}}{ 1 } = \overline{OB} $$
Quindi, in una circonferenza goniometrica con raggio uguale a 1, il coseno è la lunghezza del segmento OB
In particolare, se l'angolo è compreso tra 0 e 90 gradi o tra 270 e 360 gradi, il coseno è positivo, mentre se l'angolo è compreso tra 90 e 180° gradi, il coseno diventa negativo.
Quando l'angolo è esattamente 90 gradi o 180°, il coseno è 0.
Viceversa, quando l'angolo è 0 gradi o 360 gradi il coseno è uguale a 1.
Il coseno è una funzione periodica, il che significa che ripete il suo valore a intervalli regolari.
In particolare, il periodo del coseno è di 360 gradi (o 2π radianti), il che significa che il valore del coseno di un angolo è lo stesso di quello di un angolo di 360 gradi in più o in meno.
Ad esempio, il coseno di un angolo di 60 gradi è lo stesso di quello di un angolo di 420 gradi, poiché 420 = 60 + 360.
Nota. Il coseno di un angolo θ è una misura adimensionale. Rimane lo stesso indipendentemente dalla dimensione della circonferenza, poiché è il risultato del rapporto tra due lunghezze.
Data la sua rilevanza in molte discipline scientifiche, il coseno è uno dei concetti trigonometrici più cruciali da comprendere per chi desidera approfondire la propria conoscenza della matematica e delle scienze.
