La funzione tangente

La tangente è un elemento essenziale della trigonometria. È una delle tre funzioni trigonometriche principali, insieme al seno e al coseno.

Ma cosa rappresenta la tangente?

La tangente di un angolo in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto all'angolo e il lato adiacente a esso. La tangente di un angolo θ è espressa come tan(θ) oppure tg(θ). $$ \tan(θ) = \frac{ \text{lato opposto} }{ \text{lato adiacente} } $$ La tangente può variare da -∞ a +∞ e il suo ciclo si ripete ogni 180 gradi.

Per esempio, se abbiamo un triangolo rettangolo con un angolo di 45 gradi, e il lato opposto a questo angolo è di 10 cm, mentre il lato adiacente è anch'esso di 10 cm, la tangente di questo angolo sarà:

$$ \tan(45°) = \frac{ 10 }{ 10 } = 1 $$

La tangente di un angolo può assumere qualsiasi valore reale, a seconda della posizione dell'angolo nel triangolo.

Ecco un esempio pratico.

Immagina una circonferenza con centro O e un raggio OA di lunghezza 1 (raggio unitario).

Ora seleziona un punto P sulla circonferenza.

Crea un triangolo rettangolo con l'ipotenusa che collega il centro della circonferenza O con il punto P.

Considera l'angolo θ

La tangente è il rapporto tra il lato opposto all'angolo (BP) e il lato adiacente (OB)

$$ \tan(θ) = \frac{\overline{BP}}{ \overline{OB} } $$

Il segmento BP è il seno dell'angolo mentre il segmento OB è il coseno dell'angolo.

$$ \overline{BP} = \sin θ $$

$$ \overline{OB} = \cos θ $$

Quindi, la tangente puoi scriverla anche in questa forma equivalente, detta prima relazione fondamentale della trigonometria

$$ \tan(θ) = \frac{\sin θ}{ \cos θ} $$

Dal punto di vista geometrico la tangente è uguale alla lunghezza del segmento AC

Se l'angolo è compreso tra 0 e 90 gradi, la tangente è positiva, mentre se l'angolo è tra 90 e 180 gradi, la tangente diventa negativa.

Quando l'angolo è esattamente 90 gradi, la tangente è indefinita.

La tangente è una funzione periodica, il che significa che i suoi valori si ripetono ad intervalli regolari.

In particolare, il periodo della tangente è di 180 gradi (o π radianti), il che significa che il valore della tangente di un angolo è lo stesso di quello di un angolo di 180 gradi in più o in meno.

Per esempio, la tangente di un angolo di 30 gradi è la stessa di quella di un angolo di 210 gradi, poiché 210 =30 + 180.

Nota. La tangente di un angolo θ è una misura adimensionale. Rimane invariata indipendentemente dalla dimensione della circonferenza, poiché è il risultato del rapporto tra due lunghezze.

Data la sua rilevanza in molte applicazioni scientifiche, la tangente è uno dei concetti trigonometrici fondamentali da padroneggiare.