ll grado di un vertice del grafo

In un grafo il grado di un vertice $ V $ è il numero di vertici direttamente collegati al vertice stesso (vertici adiacenti).

Il metodo per determinare il grado di un vertice varia in base al tipo di grafo considerato: grafi semplici (non orientati) o grafi diretti (orientati).

Il grado dei vertici nei grafi semplici

In un grafo semplice, il grado di un vertice corrisponde esattamente al numero di lati (o spigoli) che sono collegati a quel vertice.

Ad esempio, il vertice A ha grado 2 perché è adiacente a due vertici (B e C). Il vertice B, invece, ha grado 3 perché è adiacente a tre vertici (A, C, D) ecc.

In un grafo semplice se un vertice ha grado 0, significa che è isolato, cioè non è collegato ad alcun altro vertice. Un vertice con grado 1 è collegato a un solo altro vertice, e così via.

Il grado di un vertice nei grafi diretti

Nei digrafi (grafi diretti o orientati) il calcolo del grado di un vertice è più complesso perché occorre distinguere tra il numero degli archi diretti verso il vertice e quello degli archi che partono dal vertice.

Quindi, bisogna considerare due tipi di gradi per ciascun vertice:

• Grado Entrante (In-degree)
  Il grado entrante di un vertice \(V\) è il numero di archi diretti verso \(V\). In altre parole, rappresenta il numero di vertici da cui si può arrivare a \(V\) seguendo la direzione degli archi. Questo indica quante "dipendenze" o connessioni in entrata ha il vertice.
• Grado Uscente (Out-degree)
  Il grado uscente di un vertice \(V\), d'altra parte, è il numero di archi che partono da \(V\). Mostra quante connessioni il vertice stabilisce verso altri vertici, ossia quante volte \(V\) funge da punto di partenza per raggiungere altri nodi.

Per esempio, consideriamo il seguente grafo diretto. Il vertice A presenta un grado di entrata pari a 0 e un grado di uscita pari a 2, dato che non esistono archi che entrano in A, mentre due archi (AC e AB) escono da A verso altri vertici.

Complessivamente, in un digrafo la somma dei gradi entranti di tutti i vertici in un digrafo è uguale alla somma dei gradi uscenti, ed entrambe le somme equivalgono al numero totale di archi nel digrafo.

Questa proprietà sottolinea l'equilibrio tra "entrare" e "uscire" di un sistema di relazioni direzionali e riflette la natura intrinsecamente bilanciata delle connessioni in un digrafo.