Le operazioni tra i vettori in Matlab

In questa lezione ti spiego le principali operazioni del calcolo vettoriale su Matlab tramite dei semplici esempi pratici.

Per prima cosa definisci un vettore.

>> v=[1; 3; 4;]

Poi definisci un altro vettore nello stesso spazio

>> w=[2; 1; -1]

I due vettori hanno tre componenti disposti in verticale. Quindi, sono due vettori colonna nello spazio a tre dimensioni (x,y,z).

Nota. In questi esempi ti ho fatto definire due vettori colonna. Tu puoi anche definire due vettori riga. Le operazioni del calcolo vettoriale sono sempre le stesse.

Ecco qualche operazione matematica che puoi calcolare con i due vettori su Maltab.

L'addizione dei vettori

L'operatore dell'addizione tra due vettori è il simbolo più (+).

Per sommare i due vettori su Matlab digita v+w

>> v+w
ans =
3
4
3

Spiegazione. $$ \vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 \\ 3+1 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} $$

La sottrazione tra vettori

L'operatore della sottrazione tra due vettori è il simbolo più (-).

Per ottenere la differenza tra due vettori digita v-w

>> v-w
ans =
-1
2
5

Spiegazione. $$ \vec{v} - \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 \\ 3-1 \\ 4-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} $$

Il prodotto tra vettori

L'operatore della moltiplicazione tra due vettori è il simbolo aterisco (*).

In questo caso hai definito due vettori colonna. Quindi, per calcolare il prodotto dei due vettori devi trasporre uno dei due vettori in un vettore riga.

Per fare la trasposizione di un vettore aggiungi un apice a destra del nome dell'array.

Ad esempio, moltiplica il primo vettore v per la trasposizione del secondo vettore vettore w'

>> v*w'
ans =
2 1 -1
6 3 -3
8 4 -4

Spiegazione. $$ \vec{v} \cdot \vec{w}^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 2 & 1 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) \\3 \cdot 2 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-1) \\ 4 \cdot 2 & 4 \cdot 1 & 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1 \\ 6 & 3 & -3 \\ 8 & 4 & -4 \end{pmatrix} $$

Puoi anche trasporre il primo vettore v' e moltiplicarlo per il secondo vettore w.

Ricorda però che la moltiplicazione tra vettori non rispetta la proprietà commutativa. Quindi, il prodotto v'*w è diverso dal prodotto v*w'

>> v'*w
ans = 1

Spiegazione. $$ \vec{v}^T \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 3 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Il prodotto dei vettori elemento per elemento

La moltiplicazione elemento per elemento è un altro tipo di moltiplicazione vettoriale.

In questo caso l'operazione calcola il prodotto tra gli elementi dei due vettori che si trovano nella stessa posizione.

Per calcolare la moltiplicazione elemento per elemento su Matlab usa il simbolo .* (punto e asterisco)

>> v.*w
ans =
2
3
-4

Nella moltiplicazione elemento per elemento i due vettori v e w devono essere entrambi vettori riga o entrambi vettori colonna.

Inoltre, i due vettori v e w devono avere lo stesso numero di componenti.

Spiegazione. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ .* \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 \\ 4 \cdot -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Il prodotto di un vettore per uno scalare

La moltiplicazione di un vettore per uno scalare usa lo stesso operatore della moltiplicazione ossia l'asterisco *

Dove per scalare si intende un numero qualsiasi.

Ad esempio, per moltiplicare il numero scalare 2 per il vettore v su Matlab digita 2*v

>> 2*v
ans =
2
6
8

Spiegazione. $$ 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

La moltiplicazione tra un vettore e uno scalare soddisfa la proprietà commutativa.

Quindi puoi scrivere anche v*2. Il risultato è lo stesso.

>> v*2
ans =
2
6
8

Spiegazione. $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 \\ 3 \cdot 2 \\ 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} $$

La divisione di un vettore per uno scalare

L'operatore della divisione tra un vettore e un numero scalare è il simbolo / (slash o barra obliqua)

Ad esempio, per dividere il vettore v per lo scalare 2 su Matlab digita v/2

>> v/2
ans =
0.5
1.5
2.0

Spiegazione. $$ \frac{ \vec{v} }{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \\ \frac{4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 1.5 \\ 2 \end{pmatrix} $$

La divisione del vettore elemento per elemento

La divisione del vettore elemento per elemento divide gli elementi di due vettori che si trovano nella stessa posizione.

Per calcolare questo tipo di divisione devi usare il simbolo ./ (punto e slash)

>> v./w
ans =
0.5
3
-4

Nella divisione elemento per elemento i due vettori devono essere entrambi vettori riga o entrambi vettori colonna.

Inoltre, i due vettori devono avere lo stesso numero di elementi.

Spiegazione. $$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ ./ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{4}{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} $$

Potenza del vettore elemento per elemento

In Matlab puoi anche calcolare l'elevamento a potenza elemento per elemento.

Questa operazione eleva gli elementi di un vettore per uno stesso esponente (numero scalare).

Per eseguire questo tipo di operazione devi usare l'operatore .^

>> v.^2
ans =
1
9
16

Spiegazione. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ 2 = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^2 \\ 4^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 9 \\ 16 \end{pmatrix} $$

Se anche l'esponente è un vettore, questa operazione eleva ogni elemento del vettore base per l'elemento del vettore esponente che si trova nella stessa posizione

>> v.^w
ans =
1
3
0.25

Spiegazione. $$ \vec{v} \ \text{.^} \ \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \text{.^} \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1^2 \\ 3^1 \\ 4^{-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0.25 \end{pmatrix} $$

In questo caso i due vettori devono essere entrambi vettori riga o entrambi vettori colonna e devono avere lo stesso numero di elementi.

La norma (modulo o lunghezza)

Per calcolare la norma euclidea del vettore ossia il modulo (lunghezza) del vettore, usa la funzione norm().

 

>> norm(v)
ans = 5.0990

Spiegazione. $$ | \vec{v} | = \sqrt{1^2+3^2+4^2} = \sqrt{1+9+16} = \sqrt{26} = 5,099 $$