Addizione e sottrazione tra frazioni
Quando si parla di frazioni, molti provano un brivido di incertezza. Eppure, sommare e sottrarre frazioni è più semplice di quanto sembri.
La somma tra frazioni
Per sommare due frazioni, il primo passo è verificare se hanno lo stesso denominatore. Vediamo entrambi i casi:
A] Denominatori uguali
Se i denominatori sono già uguali, basta sommare i numeratori mantenendo lo stesso denominatore.
Ad esempio, queste due frazioni hanno lo stesso denominatore (5).
$$ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} $$
Quindi, per sommarle devi semplicemente sommare i numeratori (2+1), lasciando invariato il denominatore (5).
$$ \frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5} $$
Il risultato è la frazione $ \frac{3}{5} $.
B] Denominatori diversi
Se i denominatori sono diversi, bisogna trovarne uno comune, il minimo comune multiplo (MCM), e poi riscrivere le frazioni con quel denominatore.
Ad esempio, queste due frazioni hanno un denominatore differente.
$$ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} $$
Troviamo il minimo comune multiplo (MCM) tra 3 e 4: è 12.
$$ MCM(3,4)=12 $$
Poi troviamo le frazioni equivalenti con denominatore 12:
$$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}, \quad \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $$
Riscriviamo la somma con le frazioni equivalenti.
$$ \frac{8}{12} + \frac{3}{12} $$
Ora le frazioni hanno lo stesso denominatore. Quindi, possiamo sommare i numeratori lasciando invariato il denominatore.
$$ \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12} $$
Il risultato finale è $ \frac{11}{12} $
Una frazione può essere negativa? Si, una frazione può essere sia positiva che negativa in matematica. Tuttavia, in alcuni problemi pratici, come nella divisione della torta in parti uguali, si considera solo il caso in cui il risultato deve essere positivo, ma questa è una limitazione dettata dal contesto e non della sottrazione delle frazioni in generale.
La sottrazione tra frazioni
La sottrazione segue gli stessi principi della somma. L’unica differenza è che si sottraggono i numeratori invece di sommarli.
A] Denominatori uguali
Se i denominatori sono uguali, sottraiamo direttamente i numeratori.
Ad esempio, ecco due frazioni con lo stesso denominatore.
$$ \frac{5}{8} - \frac{3}{8} $$
La differenza si ottiene semplicemente calcolando la sottrazione tra i numeratori, lasciando invariato il denominatore.
$$ \frac{5}{8} - \frac{3}{8} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} $$
In questo caso la differenza è $ \frac{2}{8} $ che possiamo ulteriormente semplificare dividendo il numeratore e il denominatore per due.
$$ \frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4} $$
Quindi, il risultato ridotto ai minimi termini è $ \frac{1}{4} $.
Quando il numeratore e il denominatore di una frazione hanno lo stesso divisore, conviene sempre semplificare la frazione riducendola ai minimi termini, perché rende i calcoli successivi più semplici. Tuttavia, in casi specifici (es. frazioni con denominatori comuni in calcoli intermedi), potrebbe essere utile mantenerle non semplificate temporaneamente.
B] Denominatori diversi
Anche in questo caso, bisogna trovare il denominatore comune e poi procedere.
Ad esempio, queste frazioni hanno il denominatore differente.
$$ \frac{7}{10} - \frac{2}{5} $$
Troviamo il minimo comune multiplo tra 10 e 5: è 10.
$$ MCM(10,5)=10 $$
Le frazioni equivalenti con denominatore 10 sono:
$$ \frac{7}{10} = \frac{7}{10}, \quad \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} $$
Sottraiamo i numeratori:
$$ \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{7-4}{10} = \frac{3}{10} $$
Il risultato finale è $ \frac{3}{10} $.
Un esempio concreto
Proviamo a sommare queste due frazioni.
$$ \frac{5}{6} + \frac{3}{8} $$
Le due frazioni non hanno lo stesso denominatore, quindi dobbiamo trovare il MCM tra 6 e 8 che in questo caso è 24.
$$ MCM(6,8) = 24 $$
Troviamo le frazioni equivalenti alle precedenti che hanno entrambe 24 come denominatore.
Per farlo dobbiamo moltiplicare il numeratore e il denominatore della prima frazione per 4, perché $ 6 \cdot 4 = 24 $.
$$ \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{3}{8} $$
$$ \frac{20}{24} + \frac{3}{8} $$
Poi moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della seconda frazione per 3, perché $ 8 \cdot 3 = 24 $.
$$ \frac{20}{24} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} $$
Ora le frazioni hanno lo stesso denominatore (24) e possiamo sommare direttamente i numeratori.
$$ \frac{20}{24} + \frac{9}{24} = \frac{20+9}{24} = \frac{29}{24} $$
Il risultato è una frazione impropria perché il numeratore maggiore del denominatore.
Quindi, possiano scriverlo come numero misto:
$$ \frac{29}{24} = \frac{24+5}{24} = \frac{24}{24} + \frac{5}{24} = 1 + \frac{5}{24} $$
Il risultato finale è
$$ \frac{29}{24} = 1 + \frac{5}{24} $$
In genere le frazioni improprie si riscrivono in forma mista (numero intero + frazione propria) per rendere il valore più chiaro e facilmente interpretabile. Questa forma evidenzia la parte intera e la parte frazionaria. In questo modo semplifica il confronto tra numeri e collega la frazione alla divisione: quoziente intero + resto.
In conclusione, con un po’ di pratica, quello che sembrava un ostacolo diventerà un’abilità di cui essere fieri.
Ricorda: la matematica non è solo numeri, ma anche un esercizio di logica e pazienza!
