Le percentuali
La percentuale è un modo di esprimere una quantità come una frazione con denominatore 100. $$ p \% = \frac{p}{100} $$
In termini matematici, il simbolo % equivale a dividere un numero per 100.
Ad esempio, scrivere 50% significa rappresentare il rapporto \( \frac{50}{100} \), cioè la metà.
$$ 50 \% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} $$
In questo senso, la percentuale è un tipo di frazione che rende immediato confrontare proporzioni o parti di grandezze diverse.
Ecco qualche altro esempio
- 75% equivale a \( \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \), tre quarti del totale.
- 25% corrisponde a \( \frac{25}{100} = \frac{1}{4} \), un quarto.
- 10% è \( \frac{10}{100} = \frac{1}{10} \), un decimo.
Grazie alla loro natura di frazione, le percentuali sono utili per esprimere proporzioni in maniera intuitiva e uniforme, indipendentemente dalla grandezza dei numeri coinvolti.
Le percentuali sono ovunque nella nostra vita quotidiana: dai saldi nei negozi, ai tassi di interesse, fino alle statistiche sui risultati scolastici. Comprendere come funzionano è fondamentale non solo per risolvere problemi matematici, ma anche per interpretare meglio il mondo che ci circonda.
Un esempio di utilizzo delle percentuali
In una classe di 20 studenti il sessanta percento (60%) sono maschi.
$$ 20 \cdot 60 \% $$
Svolgendo i calcoli, dopo aver trasformato la percentuale in una frazione, scopriamo che 12 studenti sono maschi.
$$ 20 \cdot 60 \% = 20 \cdot \frac{60}{100} = 2 \cdot 6 = 12 $$
Nota che lo stesso problema si poteva risolvere anche con una proporzione: "60% sta a 100% come x sta a 20" $$ 60 \% : 100 \% = x : 20 $$ Da questa si può ricavare il valore dell'incognita x $$ x = \frac{60 \cdot 20}{100} = 12 $$ Il risultato finale è sempre lo stesso.
Le femmine sono il restante 40% della classe.
$$ 20 \cdot 40 \% = 20 \cdot \frac{40}{100} = 2 \cdot 4 = 8 $$
Quando le percentuali sono riferite allo stesso insieme totale, possiamo anche sommarle o moltiplicarle tra loro.
Ad esempio, nella classe di 20 studenti il 60% sono maschi e di questi il 50% ha la sufficienza.
$$ 20 \cdot 60 \% \cdot 20 \% = 20 \cdot \frac{60}{100} \cdot \frac{50}{100} = 20 \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{10} = 20 \cdot \frac{30}{100} = 6 $$
Quindi, gli studenti maschi con la sufficienza sono 6.
Problemi con le percentuali
Esistono diversi tipi di problemi che possono essere risolti con le percentuali.
1] Calcolare una parte dato un totale e una percentuale
Se conosciamo il totale e la percentuale, possiamo calcolare la parte corrispondente moltiplicando il totale per la percentuale in forma decimale.
Ad esempio, calcoliamo il 40% di 60:
$$ 40\% = 0,4, \quad 0,4 \cdot 60 = 24 $$
La parte corrisponde quindi a 24.
2] Risalire al totale conoscendo la parte e la percentuale
Quando conosciamo una parte e la percentuale corrispondente, possiamo trovare il totale dividendo la parte per la percentuale in forma decimale. Per esempio:
Se il 60% di un totale è 12, quale è il numero totale?
Sapendo che $ x \cdot 60 \% = 12 $ possiamo ricavare l'incognita x
$$ x = \frac{12}{60 \%} = \frac{12}{ \frac{60}{100} } = \frac{12}{0.6} = 20 $$
Quindi, il totale è 20.
3] Determinare la percentuale dato il totale e una parte
Se conosciamo il totale e una parte, possiamo calcolare la percentuale corrispondente dividendo la parte per il totale e moltiplicando per 100.
Ad esempio, in una scuola di 200 studenti, 160 sono stati promossi. Qual è la percentuale di promossi?
$$ \frac{160}{200} \cdot 100 = 80 \% $$
L'ottanta percento degli studenti è stato promosso.
4] Aumentare o diminuire di una percentuale una quantità
Quando bisogna aumentare o diminuire una quantità \( x \) di una percentuale \( p\% \), la regola corretta è utilizzare i seguenti fattori moltiplicativi:
- Per un aumento del \( p\% \): \[ x \cdot \left( 1 + \frac{p}{100} \right) \] Qui, il termine \( 1 + \frac{p}{100} \) rappresenta il valore di partenza (\( 1 \)) più l'aumento proporzionale (\( \frac{p}{100} \)).
Ad esempio, per aumentare una quantità \( x = 200 \) del \( 15\% \) si scrive: $$ 200 \cdot \left( 1 + \frac{15}{100} \right) = 200 \cdot 1,15 = 230 $$ In alternativa, possiamo scrivere anche: $$ 200 \cdot \frac{115}{100} = 200 \cdot 1,15 = 230 $$
- Per una diminuzione del \( p\% \): \[ x \cdot \left( 1 - \frac{p}{100} \right) \] Qui, il termine \( 1 - \frac{p}{100} \) rappresenta il valore di partenza (\( 1 \)) meno la riduzione proporzionale (\( \frac{p}{100} \)).
Ad esempio, per diminuire una quantità \( x = 200 \) del \( 20\% \), invece, si scrive: $$ 150 \cdot \left( 1 - \frac{20}{100} \right) = 150 \cdot 0,80 = 120 $$ In alternativa, possiamo scrivere anche: $$ 150 \cdot \frac{80}{100} = 150 \cdot 0,80 = 120 $$
Questa formula è particolarmente utile per evitare errori, soprattutto quando si applicano variazioni successive o si calcolano aumenti e diminuzioni percentuali in contesti finanziari o di statistica.
Errori comuni con le percentuali
Quando si lavora con le percentuali bisogna però fare attenzione ad alcune "trappole". Vediamo quali sono le più frequenti.
1] Sommare percentuali di basi diverse
Un errore frequente è sommare percentuali che si riferiscono a totali diversi.
Ad esempio, in una classe di 20 persone il 30% sono maschi, in un'altra classe sempre di 20 persone il 20% sono maschi.
Qual è la percentuale totale di maschi nelle due classi? Non possiamo sommare \( 30\% + 20\% \) perché le percentuali si riferiscono a basi diverse.
La soluzione corretta è calcolare i numeri assoluti:
- Nella prima classe: \( 30\% \cdot 20 = 6 \)
- Nella seconda classe: \( 20\% \cdot 20 = 4 \)
Complessivamente ci sono $ 6+4 $ maschi in due classi composte ciascuna di 20 persone, ovvero su $ 20+20=40 $ studenti.
Quindi, la percentuale dei maschi è 25%
$$ \frac{6+4}{40} = \frac{10}{40} = 25 \% $$
2] Sommare due percentuali in variazioni successive
Un errore comune con le moltiplicazioni tra percentuali si verifica spesso quando si calcolano variazioni successive di una quantità.
Ad esempio, un prezzo aumenta del 10%, poi un mese dopo diminuisce del 10%.
L'errore comune è pensare che l'aumento e la diminuzione si annullino, lasciando invariato il prezzo.
$$ +10\% -10\% = 0\% \quad (\text{prezzo invariato}) $$
Questo è sbagliato perché dopo l'aumento del 10% il prezzo è aumentato, quindi la successiva riduzione del 10% va applicata a un prezzo diverso da quello di origine.
L'errore nasce dal fatto che il calcolo della diminuzione è stato applicato al valore iniziale, invece che al valore aumentato. Questo porta a sottovalutare la variazione complessiva.
Supponiamo che il prezzo iniziale sia 100 €. Dopo il primo aumento del 10%, il prezzo diventa:
$$ 100 € \cdot 1,10 = 110 € $$
Dopo un mese, la diminuzione del 10% si applica il calcolo sul nuovo prezzo (110 €}.
$$ 110 € \cdot 0,90 = 99 € $$
Quindi, il prezzo finale corretto è 99 €, non 100 €.
In conclusione, le percentuali sono strumenti potenti per rappresentare proporzioni e variazioni.
Tuttavia, come abbiamo visto, è fondamentale applicarle con attenzione per evitare errori comuni.
Capire il contesto e il totale di riferimento è la chiave per utilizzare le percentuali in modo corretto e significativo.
