Frazioni generatrici
I numeri decimali periodici, con le loro sequenze infinite di cifre che si ripetono, hanno sempre affascinato chi si avvicina alla matematica.
Ad esempio, la parte decimale del numero \(0,333...\) ha infinite cifre.
Ciò che può sembrare un enigma senza fine, in realtà, nasconde un ordine semplice e perfetto: ogni numero decimale periodico può essere rappresentato come una frazione.
In altre parole, il numero \(0,333...\), con il periodo \(3\), può essere riscritto come \(\frac{1}{3}\).
$$ 0,\overline{3} = 0,3333333... = \frac{1}{3} $$
E' una sorta di "miracolo" della matematica, vediamo come fare. Possiamo usare due metodi per convertire un numero decimale periodico in una frazione.
Le frazioni generatrici
Tra i vari metodi per compiere questa trasformazione, quello delle frazioni generatrici si distingue per velocità ed eleganza.
Cos’è una frazione generatrice?
Una frazione generatrice è la rappresentazione frazionaria di un numero decimale periodico.
Il metodo delle frazioni generatrici si basa su una formula semplice:
$$ \text{Frazione} = \frac{N - A}{D} $$
Dove:
- \(N\) è il numero completo, ottenuto eliminando la virgola e considerando sia la parte non periodica che il periodo.
- \(A\) è il numero senza periodo, ottenuto eliminando la virgola e considerando solo la parte non periodica.
- \(D\) è un numero formato da tanti \(9\) quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti \(0\) quante sono le cifre della parte non periodica.
Ecco alcuni esempi pratici.
Prendiamo il numero decimale \(0,777...\), dove il periodo è \(7\).
Identifichiamo i valori:
- \(N = 7\) (il numero completo senza virgola)
- \(A = 0\) (non c’è parte non periodica)
- \(D = 9\) (una cifra per il periodo, quindi un solo \(9\))
Applichiamo la formula
$$ \frac{N - A}{D} = \frac{7 - 0}{9} = \frac{7}{9} $$
In conclusione, il numero \(0,777...\) si scrive come \(\frac{7}{9}\).
Esempio 2: Numero con periodo misto
Consideriamo \(2,134343...\), dove \(2,13\) è la parte non periodica e \(43\) è il periodo.
Identifichiamo i valori:
- \(N = 21343\) (il numero completo senza virgola)
- \(A = 213\) (solo la parte non periodica)
- \(D = 9900\) (due cifre per il periodo \(\to\) \(99\), due cifre per la parte non periodica \(\to\) \(00\)).
Applichiamo la formula.
$$ \frac{N - A}{D} = \frac{21343 - 213}{9900} = \frac{21130}{9900} $$
Quindi, il numero decimale \(2,134343...\) si scrive come \(\frac{21130}{9900}\), che è ulteriormente semplificabile $ \frac{21130}{9900} = \frac{2113}{990} $.
Il metodo delle equazioni
Per chi preferisce una procedura più meccanica, il metodo delle equazioni offre un altro percorso.
Consiste nell'assegnare il numero decimale a una variabile, moltiplicare per potenze di 10 il numero per portare l'antiperiodo e il periodo nella parte intera del numero decimale e sottrarre le due equazioni.
Vediamolo con un esempio concreto.
Prendiamo il numero \(0,333...\).
Definiamo una variabile:
$$ x = 0,333... $$
Moltiplichiamo per \(10\):
$$ 10x = 3,333... $$
Sottraiamo la prima equazione dalla seconda:
$$ 10x - x = 3,333... - 0,333... $$
$$ 9x = 3 $$
Risolviamo per \(x\):
$$ x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $$
Pertanto, il numero decimale \(0,333...\) si scrive come \(\frac{1}{3}\).
Esempio 2: numero con periodo misto
Prendiamo \(2,134343...\).
Definiamo una variabile:
$$ x =2,134343... $$
Moltiplichiamo per \(10\) per portare l'antiperiodo a sinistra della virgola
$$ 10 \cdot x = 10 \cdot 2,134343... $$
$$ 10 \cdot x = 21,343434... $$
Poi moltiplichiamo per \(100\) per portare anche il periodo a sinistra della virgola
$$ 100 \cdot 10 \cdot x = 100 \cdot 21,343434... $$
$$ 1000 \cdot x = 2134,343434... $$
Ora sottraiamo le due equazioni, l'equazione $ 10 \cdot x = 21,343434... $ da quest'ultima
$$ 1000 \cdot x - 10 \cdot x = 2134,343434... - 21.343434... $$
$$ 990 \cdot x= 2113 $$
In questo modo il periodo è scomparso.
Risolviamo per \(x\).
$$ x = \frac{2113}{990} $$
In conclusione, il numero decimale \(2,134343...\) si scrive come \(\frac{2113}{990}\).
Quale metodo di conversione è meglio utilizzare?
Entrambi i metodi dimostrano come i numeri decimali periodici siano in realtà numeri razionali.
Il metodo delle equazione è l'ideale per comprendere a fondo il legame tra la periodicità dei decimali e le frazioni.
Il metodo delle frazioni generatrici ha, invece, il pregio della rapidità.
Che tu scelga il metodo delle frazioni generatrici o quello delle equazioni, il risultato finale è sempre lo stesso.
Ciò che veramente conta è apprezzare la semplicità e l’ordine che la matematica ci offre. Ogni decimale periodico può essere "catturato" in una frazione, trasformando l’apparente infinito in qualcosa di finito e comprensibile.
