Le frazioni equivalenti
Due frazioni \(\frac{a}{b}\) e \(\frac{c}{d}\) sono dette equivalenti se rappresentano lo stesso valore, anche se hanno numeratori e denominatori diversi. $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $$ Quando due frazioni sono equivalenti il loro prodotto in croce dei termini è uguale $$ a \cdot d = b \cdot c $$
Ma cosa significa esattamente che due frazioni sono equivalenti, e come possiamo verificarlo?
Immagina di avere una torta.
Se la dividi in due parti uguali e ne prendi una, puoi mangiare $ \frac{1}{2} $ della torta ovvero metà torta.
Ora, se invece dividi la stessa torta in quattro parti uguali e ne prendi due, puoi mangiare $ \frac{2}{4} $ della torta, ovvero due fette su quattro.
Nonostante la suddivisione sia diversa, la quantità di torta che ottieni è identica. Questo accade perché due frazioni equivalenti rappresentano lo stesso valore.
$$ \frac{1}{2} = \frac{2}{4} $$
Questo semplice esempio illustra cosa significa che due frazioni sono equivalenti.
Come verificare se due frazioni sono equivalenti?
Due frazioni sono equivalenti quando rappresentano lo stesso valore.
Questo può essere verificato utilizzando una proprietà molto importante: il prodotto in croce.
Se hai due frazioni $ \frac{a}{b} \quad \text{e} \quad \frac{c}{d} $ , queste sono equivalenti se e solo se il loro prodotto in croce è uguale: $$ a \cdot d = b \cdot c. $$
Quindi, il prodotto in croce si ottiene moltiplicando il numeratore (a) della prima frazione per il denominatore (d) della seconda e il numeratore (c) della seconda frazione per il denominatore (b) della prima.
Esempio
Ad esempio, considera le frazioni 1/2 e 2/4.
$$ \frac{1}{2} \quad \text{e} \quad \frac{2}{4} $$
Per verificare se sono equivalenti, calcola il prodotto in croce:
$$ 1 · 4 = 2 · 2 $$
$$ 4 = 4 $$
Poiché i due prodotti coincidono, puoi concludere che 1/2 e 2/4 sono frazioni equivalenti.
A cosa serve conoscere le frazioni equivalenti?
Le frazioni equivalenti sono molto utili per semplificare le frazioni.
Ad esempio, la frazione \(\frac{6}{8}\) può essere semplificata dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo comune divisore (MCD), che in questo caso è 2.
$$ \frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4} $$
Dividendo, ottieni \(\frac{3}{4}\) che è equivalente a \(\frac{6}{8}\) ma ha numeri molto più bassi. Quindi, rende i calcoli successivi molto più semplici.
Puoi usare le frazioni equivalenti anche per confrontare due frazioni.
Ad esempio, immagina di voler confrontare \(\frac{2}{3}\) e \(\frac{4}{6}\), puoi verificarne l’equivalenza con il prodotto in croce:
$$ 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 $$
In questo caso, i due prodotti coincidono, quindi le due frazioni sono uguali.
$$ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$
Le frazioni equivalenti diventano utili anche nelle addizioni o sottrazioni tra frazioni, dove è spesso necessario trasformare le frazioni in equivalenti con lo stesso denominatore.
Esempio. Supponi di voler sommare le frazioni \(\frac{1}{3}\) e \(\frac{1}{4}\). $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $$ Per farlo, devi trovare un denominatore comune: in questo caso, il minimo comune multiplo (MCM) tra 3 e 4 è 12. Quindi, devi trasformare le frazioni in equivalenti con denominatore 12
- Per \(\frac{1}{3}\), moltiplica numeratore e denominatore per 4: $$ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} $$
- Per \(\frac{1}{4}\), moltiplica numeratore e denominatore per 3 $$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $$
Ora, sostituisci \(\frac{1}{3}\) con la frazione equivalente \( \frac{4}{12} \) e la frazione \(\frac{1}{4}\) con \(\frac{3}{12}\)
$$ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} $$
$$ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} $$
Adesso le due frazioni hanno lo stesso denominatore e puoi sommare i numeratori:
$$ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12} $$
Grazie alle frazioni equivalenti, hai ottenuto la somma delle due frazioni.
In conclusione, capire questo concetto non solo ti aiuta a semplificare calcoli, ma ti fornisce anche una base solida per affrontare concetti più complessi, come la somma algebrica tra frazioni, le equazioni frazionarie e i numeri decimali.
