La potenza di una frazione

La potenza di una frazione segue una regola semplice ma fondamentale: ogni frazione viene elevata a potenza applicando l’esponente sia al numeratore sia al denominatore.

Se abbiamo una frazione \( \frac{a}{b} \), dove \( a \) è il numeratore e \( b \) è il denominatore, la potenza \( n \) si calcola come: $$ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $$

Vediamo insieme come funziona e alcuni casi particolari che possono confondere.

Immaginiamo di voler calcolare \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 \). Applichiamo la regola:

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27} $$

Questo principio è valido per ogni valore intero \( n \) (cioè \( n \in \mathbb{Z} \)).

Ci sono però dei casi particolari da considerare:

• La potenza zero
  Una frazione elevata alla potenza zero è sempre uguale a 1, purché il numeratore \( a \) sia diverso da zero: $$
  \left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1 \quad \text{se } a \neq 0 $$ Ad esempio $$ \left(\frac{5}{7}\right)^0 = 1 $$ Tuttavia, se \( a = 0 \) (cioè la frazione è \( 0/b \)), non è possibile applicare questa regola poiché \( 0^0 \) è una forma indeterminata.

  Ad esempio, se abbiamo $$ ( \frac{0}{2} )^0 = \frac{\color{red}{0^0}}{2^0} $$ non possiamo calcolare il numeratore.

• La potenza uno
  Elevare una frazione alla potenza uno non cambia il suo valore: $$ \left(\frac{a}{b}\right)^1 = \frac{a}{b} $$ Ad esempio: $$ \left(\frac{3}{4}\right)^1 = \frac{3^1}{4^1} = \frac{3}{4} $$

Anche per le frazioni valgono le stesse regole delle operazioni tra potenze.

Vediamole una per una per chiarire come applicarle alle frazioni.

• Prodotto di potenze con la stessa base
  Quando due frazioni con la stessa base vengono moltiplicate, si sommano gli esponenti: $$ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} $$ Ad esempio $$ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 $$
• Quoziente di potenze con la stessa base
  Quando due frazioni con la stessa base vengono divise, si sottraggono gli esponenti: $$ \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^m}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} $$ Ad esempio $$ \frac{\left(\frac{5}{4}\right)^6}{\left(\frac{5}{4}\right)^2} = \left(\frac{5}{4}\right)^{6-2} = \left(\frac{5}{4}\right)^4 $$
• Potenza di potenza
  Quando una frazione elevata a una potenza viene nuovamente elevata a un’altra potenza, si moltiplicano gli esponenti: $$ \left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} $$ Ad esempio $$ \left[\left(\frac{3}{5}\right)^2\right]^4 = \left(\frac{3}{5}\right)^{2 \cdot 4} = \left(\frac{3}{5}\right)^8 $$
• Prodotto di potenze con lo stesso esponente
  Se due frazioni diverse hanno lo stesso esponente, è possibile moltiplicare le basi e mantenere l’esponente comune: $$
  \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a \cdot c}{b \cdot d}\right)^n $$ Ad esempio $$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \right)^3 = \left(\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5}\right)^3 = \left(\frac{8}{15}\right)^3 $$
• Quoziente di potenze con lo stesso esponente
  Se due frazioni diverse hanno lo stesso esponente, è possibile dividere le basi e mantenere l’esponente comune: $$ \frac{\left(\frac{a}{b}\right)^n}{\left(\frac{c}{d}\right)^n} = \left(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\right)^n = \left(\frac{a \cdot d}{b \cdot c}\right)^n $$ Ad esempio $$ \frac{\left(\frac{6}{7}\right)^2}{\left(\frac{2}{5}\right)^2} = \left(\frac{\frac{6}{7}}{\frac{2}{5}}\right)^2 = \left(\frac{6}{7} \cdot \frac{5}{2} \right)^2 = \left(\frac{6 \cdot 5}{7 \cdot 2}\right)^2 = \left(\frac{30}{14}\right)^2 = \left(\frac{15}{7}\right)^2 $$

Queste regole non solo semplificano i calcoli, ma rendono più comprensibile il trattamento di problemi complessi che coinvolgono frazioni elevate a potenze.

Sono alla base di molte applicazioni matematiche, dalla semplificazione di espressioni al calcolo con polinomi e funzioni esponenziali.

Seguendo queste regole fondamentali e facendo molta pratica, si può padroneggiare rapidamente questa abilità.