Il confronto tra frazioni

Confrontare frazioni è un passaggio fondamentale per chi studia i numeri razionali, ma può sembrare complicato a prima vista. In realtà, il processo si riduce spesso a pochi semplici passi.

Vediamo come fare, distinguendo i casi principali e applicando le regole con consapevolezza.

Caso 1: Stesso denominatore

Quando due frazioni hanno lo stesso denominatore, il confronto è diretto. Basta guardare i numeratori: la frazione con il numeratore maggiore sarà la più grande.

Esempio

Confrontiamo $ \frac{3}{2} $ e $ \frac{7}{2} $:

Entrambe le frazioni hanno denominatore $ 2 $.

Poiché $ 3 < 7 $, si deduce che:

$$ \frac{3}{2} < \frac{7}{2} $$

Caso 2: Denominatori diversi

Se le frazioni hanno denominatori diversi, possiamo utilizzare uno dei seguenti metodi:

Riduzione al denominatore comune
Scriviamo le frazioni in forma equivalente, con lo stesso denominatore. Per farlo, moltiplichiamo numeratore e denominatore di ogni frazione per il denominatore dell’altra (applicando la proprietà invariantiva).
Esempio: Confrontiamo $ \frac{3}{2} $ e $ \frac{4}{7} $.
Moltiplichiamo numeratore e denominatore della prima frazione per $ 7 $:
$$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{21}{14} $$ Poi moltiplichiamo numeratore e denominatore della seconda frazione per $ 2 $: $$ \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{8}{14} $$ Ora le due frazioni equivalenti sono $ \frac{21}{14} $ e $ \frac{8}{14} $. Confrontando i numeratori, $ 21 > 8 $, quindi: $$ \frac{3}{2} > \frac{4}{7} $$
Prodotti in croce
Una scorciatoia utile è confrontare le frazioni utilizzando i prodotti in croce. Per $ \frac{a}{b} $ e $ \frac{c}{d} $, confrontiamo $ a \cdot d $ e $ b \cdot c $:
- Se $ a \cdot d < b \cdot c $, allora $ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} $.
- Se $ a \cdot d > b \cdot c $, allora $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $.
- Se $ a \cdot d = b \cdot c $, le frazioni sono uguali.
Esempio. Confrontiamo $ \frac{3}{2} $ e $ \frac{4}{7} $. Calcoliamo i prodotti in croce: $$ 3 \cdot 7 = 21 \quad \text{e} \quad 2 \cdot 7 = 14 $$ Poiché $ 21>14 $, deduciamo che: $$ \frac{3}{2} > \frac{4}{7} $$

Ecco alcuni suggerimenti pratici.

A volte è possibile confrontare frazioni senza ridurre al denominatore comune o fare prodotti in croce:

Frazioni proprie e improprie
Una frazione impropria (numeratore maggiore del denominatore) è sempre maggiore di una frazione propria (numeratore minore del denominatore).
Esempio. Confrontiamo $ \frac{3}{2} $ e $ \frac{4}{7} $. La prima è impropria ($ 3 > 2 $) e la seconda è propria ($ 4 < 7 $), quindi senza fare alcun controllo possiamo dedurre che: $$ \frac{3}{2} > \frac{4}{7} $$
Stesso numeratore
Se le frazioni hanno lo stesso numeratore, la frazione con il denominatore minore sarà maggiore, poiché l’unità è divisa in meno parti.
Esempio. Confrontiamo $ \frac{5}{6} $ e $ \frac{5}{7} $. Poiché $ 6 < 7 $, si deduce che: $$ \frac{5}{6} > \frac{5}{7} $$

Il confronto tra frazioni è soprattutto un esercizio di logica e attenzione.

Seguendo le regole e utilizzando i metodi adeguati al caso, si può evitare di commettere errori.

Tuttavia, il vero segreto è ragionare sempre sul contesto: semplificare quando possibile e scegliere la via più diretta per confrontare i numeri.

In sintesi:

Stesso denominatore? Confronta i numeratori.
Denominatori diversi? Riduci al denominatore comune o usa i prodotti in croce.
Stesso numeratore? Confronta i denominatori.
Una frazione è propria e l'altra è impropria? Quella impropria è sempre più grande.

Con la pratica, questi strumenti diventeranno naturali e ti permetteranno di affrontare qualsiasi confronto con sicurezza.