La divisione tra frazioni
La divisione tra frazioni è una delle operazioni che, a prima vista, può sembrare complessa. Ma dietro la sua apparente difficoltà, si nasconde una logica semplice. Per dividere due frazioni, non è necessario reinventare la ruota o affidarsi a calcoli lunghi e laboriosi. Il principio chiave è il seguente:
Dividere per una frazione è equivalente a moltiplicare per il suo reciproco. $$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} \Leftrightarrow \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$
Ma cosa significa, esattamente? Vediamolo con un esempio concreto.
Supponiamo di voler dividere queste due frazioni:
$$ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} $$
Identifica il reciproco della seconda frazione.
Il reciproco di una frazione si ottiene semplicemente invertendo numeratore e denominatore. Nel nostro caso, il reciproco di \(\frac{2}{5}\) è \(\frac{5}{2}\).
Trasforma la divisione in una moltiplicazione. Cambia il simbolo di divisione (\(÷\)) in moltiplicazione (\( \cdot \)) e sostituisci la seconda frazione con il suo reciproco:
$$ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} $$
Esegui la moltiplicazione delle frazioni. Moltiplica i numeratori tra loro e i denominatori tra loro:
$$ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} $$
Ecco fatto! Il risultato della divisione è \(\frac{15}{8}\), una frazione impropria che può anche essere espressa come numero misto: \(1 + \frac{7}{8}\).
$$ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8} = \frac{8+7}{8} = \frac{8}{8} + \frac{7}{8} = 1 + \frac{7}{8} $$
Una volta che ti senti a tuo agio con questa regola, sarai in grado di affrontare divisioni tra frazioni con facilità.
Perché funziona questa regola?
Per capire perché dividere per una frazione equivale a moltiplicare per il suo reciproco, possiamo riflettere sul significato della divisione come operazione matematica.
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = x $$
Dove $ \frac{a}{b} $ è il dividendo, $ \frac{c}{d} $ è il divisore, mentre $ x $ è il quoziente.
Nella divisione, il quoziente ( $ x $ ) è quel numero che moltiplicato per il divisore ( $ \frac{c}{d} $ ) restituisce il dividendo ( $ \frac{a}{b} $ )
$$ x \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} $$
Ora moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione per il reciproco del divisore ossia per $ \frac{d}{c} $
$$ x \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$
Il prodotto di una frazione per il suo reciproco è uguale a 1. Quindi $ \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} = 1 $
$$ x \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$
$$ x= \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $$
Pertanto, il quoziente ( $ x $ ) è uguale al prodotto del dividendo ( $ \frac{a}{b} $ ) per il reciproco del divisore ( $ \frac{d}{c} $ ).
A questo punto, sai tutto su questo argomento. Quindi, non lasciare che le frazioni ti spaventino: affrontale senza avere paura.
