Gli insiemi uguali

Due insiemi A e B si considerano uguali se hanno esattamente gli stessi elementi.

In termini matematici, questo si verifica se ogni elemento di A è anche un elemento di B, e ogni elemento di B è anche un elemento di A.

Se questo è vero, allora possiamo affermare che \( A \subseteq B \) ( A è un sottinsieme di B ) e \( B \subseteq A \) ( B è un sottinsieme di A ).

$$  A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$

Un'altra maniera di esprimere che due insiemi sono uguali è scrivere \( A = B \).

$$ A = B $$

Questa uguaglianza implica che non solo A è contenuto in B, ma anche che non ci sono elementi in B che non sono in A, e viceversa.

Le due affermazioni sono comunque equivalenti:

$$ A = B \Leftrightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A $$

Quando due insiemi sono uguali hanno gli stessi elementi, di consequenza hanno anche la stessa cardinalità ovvero lo stesso numero di elementi. $$ |A| = |B| $$

Esempio

Facciamo un esempio concreto, prendiamo due insiemi A e B

$$ A = \{1, 2, 3\} $$

$$ B = \{3, 1, 2\} $$

Nonostante l'ordine degli elementi sia diverso, gli insiemi A e B contengono gli stessi numeri.

Quindi, \( A = B \) perché entrambi contengono esattamente gli stessi elementi senza eccezioni, il che soddisfa la condizione \( A \subseteq B \) e \( B \subseteq A \).