Il prodotto cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi \(A\) e \(B\) è l'insieme di tutte le coppie ordinate \((a, b)\) dove \(a \in A\) e \(b \in B\).
Se \(A\) e \(B\) sono due insiemi, il loro prodotto cartesiano, denotato \(A \times B\), è definito come:
\[ A \times B = \{ (a, b) \mid a \in A \text{ e } b \in B \} \]
Dove \( a \) è un elemento dell'insieme \( A \) mentre \( b \) è un elemento dell'insieme \( B \).
Esempio
Consideriamo due insiemi semplici:
\(A = \{1, 2\}\)
\(B = \{x, y\}\)
Il prodotto cartesiano \(A \times B\) sarà:
\[ A \times B = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)\} \]
Immaginiamo che l'insieme \(A\) rappresenti le righe di una tabella e l'insieme \(B\) rappresenti le colonne.
Il prodotto cartesiano \(A \times B\) può essere visualizzato come una tabella dove ogni cella è una coppia \((a, b)\).
\[
\begin{array}{c|c|c}
& x & y \\
\hline
1 & (1, x) & (1, y) \\
2 & (2, x) & (2, y) \\
\end{array}
\]
In geometria, il piano cartesiano è un esempio del prodotto cartesiano \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}\), dove ogni punto è una coppia di coordinate \((x, y)\).
Estensione a più insiemi
Il concetto di prodotto cartesiano può essere esteso a più di due insiemi.
Ad esempio, il prodotto cartesiano di tre insiemi \(A\), \(B\) e \(C\) è l'insieme di tutte le triple ordinate \((a, b, c)\) dove \(a \in A\), \(b \in B\), e \(c \in C\):
\[ A \times B \times C = \{ (a, b, c) \mid a \in A, b \in B, c \in C \} \]
Quando si considera il prodotto cartesiano di più di due insiemi, il concetto si estende in modo naturale.
Dal punto di vista formale se ci sono n insiemi il prodotto cartesiano è l'insieme di tutte le n-ple ordinate (a1, a2, ... an).
$$ A_1 × A_2 × ... × A_n \ = \ \{ \ (a_1, a_2, ..., a_n) \ \ \ | \ \ \ a_1 ∈ A_1, a_2 ∈ A_2, ..., a_n ∈ A_n \} $$
In generale, se ci sono n insiemi ogni elemento del prodotto cartesiano è chiamato n-upla (ennupla).
Facciamo un esempio numerico con tre insiemi:
$$ A = \{ 1, 2 \} $$
$$ B = \{ 3, 4 \} $$
$$ C = \{ 5, 6 \} $$
Il prodotto cartesiano A × B × C è l'insieme di tutte le terne ordinate che si possono formare prendendo un elemento da A, uno da B e uno da C.
$$ A × B × C = \{ (1, 3, 5), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 4, 6), \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6) \} $$
In questo caso abbiamo combinato ogni elemento del primo insieme con ogni elemento del secondo e del terzo insieme, creando tutte le possibili combinazioni di tre elementi.
