Le operazioni tra gli insiemi
Quando lavoriamo con insiemi, possiamo eseguire diverse operazioni per combinarli, separarli o confrontarli.
Ad esempio, puoi unire gli elementi di due insiemi in un solo insieme oppure prendere solo quelli in comune. Nel primo caso si parla di unione mentre nel secondo di intersezione.
Queste operazioni sono strumenti essenziali non solo in matematica pura, ma anche in informatica, scienze sociali e persino in filosofia.
Scopriamo insieme quali sono e come funzionano.
L’unione (∪)
L'unione tra due insiemi \( A \) e \( B \), indicata con \( A \cup B \), è l'insieme che contiene tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.
Ad esempio, se hai due insiemi
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ B = \{3, 4, 5\} $$
La loro unione è un insieme che contiene tutti gli elementi dei due insiemi.
\[ A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \]
Nota che l’elemento \( 3 \), che è presente in entrambi, viene scritto una sola volta, poiché negli insiemi non si contano le ripetizioni.
L’intersezione (∩)
L'intersezione di due insiemi \( A \) e \( B \), indicata con \( A \cap B \), è l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad \( A \) che a \( B \).
Ad esempio, riprendi gli esempi del caso precedente
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ B = \{3, 4, 5\} $$
L'intersezione contiene solo gli elementi comuni dei due insiemi.
\[ A \cap B = \{3\} \]
In questo caso i due insiemi hanno solo l'elemento \( 3 \) in comune.
Quando due insiemi non hanno elementi in comune, la loro intersezione è vuota e si indica con il simbolo \( \emptyset \).
Ad esempio, prendi gli insiemi
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ C = \{6, 7\} $$
Questi due insiemi non hanno alcun elemento in comune, quindi la loro intersezione è l'insieme vuoto.
\[ A \cap B = \emptyset \]
La differenza (−)
La differenza tra insiemi si usa per trovare gli elementi che appartengono a un insieme ma non all’altro. $$ A-B $$
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ B = \{3, 4, 5\} $$
La differenza tra \( A \) e \( B \), indicata con \( A - B \), è l’insieme degli elementi di \( A \) che non appartengono a \( B \).
\[ A - B = \{1, 2\} \]
La differenza tra \( B \) e \( A \), invece, è indicata con \( B - A \) ed è l’insieme degli elementi di \( B \) che non appartengono a \( A \).
\[ B - A = \{4, 5\} \]
In entrambi i casi l’elemento \( 3 \), essendo comune, viene eliminato.
Nota che la differenza non è un'operazione commutativa perché, cambiando l'ordine degli insiemi, il risultato è diverso.
Il complemento (\( A^C \))
Il complemento di un insieme \( A \), indicato con \( A^C \), è l’insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad \( A \), rispetto a un insieme universo \( U \).
Ad esempio, se l’universo è
$$ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $$
Prendi come esempio l'insieme \( A \)
$$ A = \{2, 4, 6\} $$
Il complemento dell'insieme \( A \) rispetto a \( U \) è
\[ A^C = \{1, 3, 5, 7\} \]
Il risultato è un insieme che contiene tutti gli elementi di \( U \) tranne quelli che appartengono anche all'insieme \( A \) ossia 2, 4 e 6.
La differenza simmetrica (Δ) o insieme esclusivo
La differenza simmetrica tra due insiemi \( A \) e \( B \) si indica con \( A \triangle B \) ed è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi, ma non a entrambi.
Ad esempio, prendi questi due insiemi
$$ A = \{1, 2, 3\} $$
$$ B = \{3, 4, 5\} $$
La differenza simmetrica è l'insieme:
$$ A \triangle B = \{1, 2, 4, 5\} $$
L'elemento \( 3 \) viene escluso perché è presente in entrambi gli insiemi.
La differenza simmetrica è un'operazione commutativa perché l'ordine degli insiemi non influisce sul risultato.
E' come se facessi l'unione di una doppia differenza $ A \triangle B = (A-B) \cup (B-A) $
Perché sono importanti le operazioni tra insiemi?
Queste operazioni non sono solo un esercizio teorico, ma hanno applicazioni concrete in tantissimi ambiti:
Ad esempio, in informatica, vengono usate nelle basi di dati per filtrare e confrontare insiemi di dati. Sono utilizzate in statistica per analizzare gruppi di popolazione e studiare intersezioni tra categorie. In logica e filosofia, infine, aiutano a strutturare argomentazioni e classificazioni.
Le proprietà delle operazioni tra insiemi
Dopo aver esplorato le operazioni tra insiemi, è fondamentale comprendere le proprietà che le regolano.
Alcune di queste proprietà sono simili a quelle delle operazioni aritmetiche, mentre altre sono specifiche del calcolo insiemistico.
| Proprietà | Espressione |
|---|---|
| Proprietà di idempotenza | \( A \cap A = A \) \( A \cup A = A \) |
| Proprietà commutativa dell'intersezione | \( A \cap B = B \cap A \) |
| Proprietà commutativa dell'unione | \( A \cup B = B \cup A \) |
| Proprietà associativa dell'intersezione | \( A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \) |
| Proprietà associativa dell'unione | \( A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \) |
| Leggi di assorbimento | \( A \cap (A \cup B) = A \) \( A \cup (A \cap B) = A \) |
| Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto all'unione | \( A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \) |
| Proprietà distributiva dell'unione rispetto all'intersezione | \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \) |
| Leggi di De Morgan | \( \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \) \( \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \) |
Nell'approfondimento le vedremo più nel dettaglio, accompagnandole con esempi chiari.
