La cardinalità di un insieme

La cardinalità di un insieme è un concetto matematico che ci dice "quanti" elementi ci sono in quell'insieme X. In genere si indica con due barre verticali $ | X | $

Puoi pensarlo come una sorta di misura della "grandezza" di un insieme, anche se questa idea può diventare un po' più complicata quando parliamo di insiemi infiniti.

Vediamo cosa si intende per cardinalità in un insieme finito e in un insieme infinito

• Cardinalità di insiemi finiti
  Per gli insiemi finiti, la cardinalità è semplicemente il numero di elementi presenti nell'insieme.

  Ad esempio, immagina di avere una scatola piena di cioccolatini. Se vuoi sapere quanti cioccolatini puoi gustare, conti quelli nella scatola. Il numero che ottieni è la cardinalità della scatola di cioccolatini, che in questo caso è un insieme finito. Ora seguendo un ragionamento più astratto, prendi come esempio questo insieme che chiamiamo A $$ A = \{a, b, c, d\} $$ La cardinalità dell'insieme A è 4 perché contiene quattro elementi. $$ |A|= 4 $$ Il concetto è sempre lo stesso. Fin qui è abbastanza semplice, diretto e intuitivo.

• Cardinalità di insiemi infiniti
  Quando parliamo di insiemi infiniti, le cose diventano più complicate ma interessanti. Gli insiemi infiniti possono avere cardinalità diverse, nonostante siano tutti "infiniti". In altre parole, in matematica esistono degli insiemi infiniti più infiniti di altri.
  

  Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\} $ e l'insieme dei numeri interi $ \mathbb{Z} = \{ \ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} $ hanno la stessa cardinalità, che è un tipo di infinito chiamato "numerabile" o "contabile". Questo significa che puoi elencare gli elementi dell'insieme in una sequenza infinita senza lasciarne fuori nessuno. Tuttavia, nella teoria degli insiemi esistono insiemi infiniti che sono più "grandi" di altri.  Ad esempio, tra il XIX e il XX secolo il matematico Georg Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $, quello che include tutti gli infiniti punti di una retta, ha un ordine di infinito maggiore rispetto all'insieme dei numeri naturali e dei numeri interi. In questo caso, non puoi elencare tutti i numeri reali in una sequenza numerabile, perché tra due numeri reali qualsiasi esistono infiniti altri numeri reali. Ad esempio, tra i numeri reali 2 e 3 esistono infiniti altri numeri come 2.5, 2.25, 2.111, 2.000001, ecc. Il che significa che la cardinalità dei numeri reali è un tipo di infinito più grande di quello dei numeri naturali o degli interi.

In conclusione, la cardinalità non è solo un modo per contare quante cose ci sono in un insieme, ma è anche una porta su un mondo di infiniti universi matematici.

Ci permette di confrontare la grandezza degli insiemi anche quando sono infiniti, e scoprire che ci sono diversi "tipi" di infinito una delle scoperte più affascinanti della matematica moderna.