Il determinante di una matrice
Il determinante di una matrice è un concetto chiave nell'algebra lineare, un ramo della matematica che si occupa di cose come vettori, spazi vettoriali e trasformazioni lineari. Non preoccuparti se suona complicato - cercherò di spiegare tutto in modo semplice.
Che cos'è il Determinante?
Immagina di avere una matrice quadrata, che è un insieme ordinato di numeri disposti in righe e colonne.
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Il determinante è un valore che puoi calcolare da questa matrice e ti fornisce molte informazioni utili sulla matrice stessa.
Si indica con il simbolo delta maiuscolo Δ oppure con il nome della matrice posto tra due barre
$$ \Delta_M = | M | $$
Ricorda, il determinante non è solo un numero - è uno strumento che ci aiuta a capire meglio le proprietà della matrice.
Perché è importante? Beh, il determinante ci aiuta a risolvere molti problemi matematici. Ad esempio, ti permette di calcolare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari, a capire come cambiano le forme e i volumi nello spazio, e molto altro ancora.
Come si Calcola il Determinante?
Ci sono diversi modi per calcolare il determinante, a seconda di quanto è grande la matrice.
Per le matrici piccole, come quelle 2x2 o 3x3, esistono delle formule pratiche che semplificano il calcolo.
Per le matrici più grandi, invece, si usano metodi più complessi, come lo sviluppo di Laplace o l'algoritmo di Gauss.
Le matrici 2x2
Se hai una matrice 2x2, con due righe e due colonne
$$ M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
puoi calcolare il determinante usando la formula ad - bc
$$ \Delta_M = a \cdot d - b \cdot c $$
In pratica devi calcolare il prodotto degli elementi ad nella diagonale principale e sottrarre il prodotto degli elementi bc che si trovano nella diagonale secondaria.
Ad esempio, considera questa matrice 2x2 $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ In questo caso gli elementi sono a=1, b=2, c=3 e d=4. Applica la formula precedente per calcolare il determinante della matrice $$ \Delta_M = a \cdot d - b \cdot c = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$ Il determinante della matrice è ΔM=-2.
Le matrici 3x3
Se hai una matrice 3x3, con tre righe e tre colonne
$$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$
puoi usare la regola di Sarrus.
$$ \Delta = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb $$
In pratica, se aggiungi le prime due colonne in coda alla matrice,
$$ M = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ d & e \\ g & h \end{matrix} $$
devi sommare i prodotti delle diagonali principali aei + bfg + cdh
$$ M = \begin{pmatrix} \color{blue}a & \color{red}b & \color{green}c \\ d & \color{blue}e & \color{red}f \\ g & h & \color{blue}i \end{pmatrix} \begin{matrix} a & b \\ \color{green}d & e \\ \color{red}g & \color{green}h \end{matrix} $$
e sottrarre quelli delle diagonali secondarie - gec - hfa - idb
$$ M = \begin{pmatrix} a & b & \color{blue}c \\ d & \color{blue}e & \color{red}f \\ \color{blue}g & \color{red}h & \color{green}i \end{pmatrix} \begin{matrix} \color{red}a & \color{green}b \\ \color{green}d & e \\ g & h \end{matrix} $$
Ad esempio, considera questa matrice 3x3 $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$ In questo caso gli elementi sono a=1, b=2, c=3, d=4, e=5, f=6, g=7, h=8, i=9. Applica la regola di Sarrus per calcolare il determinante della matrice $$ \Delta_M = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb $$ $$ \Delta_M = 1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5 \cdot 3 - 8 \cdot 6 \cdot 1 - 9 \cdot 4 \cdot 2 $$ $$ \Delta_M = 45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 $$ $$ \Delta_M = 0 $$ Quindi, il determinante della matrice M è ΔM=0.
Le proprietà del determinante
Il determinante ha alcune proprietà molto utili.
Ad esempio, se tutti i numeri in una riga o in una colonna della matrice sono zero, allora il determinante sarà anche zero.
Considera la matrice $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 0 \end{pmatrix} $$ Puoi anche fare a meno di calcolare il determinante perché una colonna è composta da tutti zeri. Quindi, il determinante è sicuramente nullo $$ \Delta_M = 0 $$
Se due righe o colonne sono uguali o proporzionali, il determinante sarà ancora zero.
Considera la matrice $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 4 & 5 & 10 \\ 7 & 8 & 16 \end{pmatrix} $$ La terza colonna è esattamente il doppio della seconda colonna. Anche in questo caso puoi evitare di calcolare il determinante perché il determinante è sicuramente nullo $$ \Delta_M = 0 $$
Inoltre, il determinante ha una proprietà moltiplicativa: il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei loro determinanti.
Ad esempio, considera due matrici $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$ I determinanti delle matrici sono $$ \Delta_A = -2 $$ $$ \Delta_B = 3 $$ Il prodotto dei due determinanti è uguale a -6 $$ \Delta_A \cdot \Delta_B = -6 $$ Ora moltiplica le due matrici tra loro A·B $$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} $$ A questo punto calcola il determinante della matrice prodotto A·B $$ \Delta_{A·B} = 5 \cdot 12 - 6 \cdot 11 = 60 - 66 = -6 $$ Il determinante della matrice prodotto det(A·B) è uguale al prodotto dei determinanti det(A) e det(B)
Se ti trovi a studiare o a lavorare in un campo che usa l'algebra lineare - come l'ingegneria, la fisica, l'economia o l'informatica - è sicuramente un concetto da conoscere.
Può sembrare un po' complicato all'inizio, ma con un po' di pratica, diventa molto semplice da calcolare.
