La matrice dei cofattori

La matrice dei cofattori C di una matrice quadrata M è una matrice che ottieni sostituendo ogni elemento M[i][j] della matrice M con il suo cofattore C[i][j].

Ti ricordo che il cofattore di un elemento M[i][j] si ottiene usando questa formula

$$ C[i][i] = (-1)^{(i+j)} \cdot \det(M[i][j]) $$

Dove M[i][j] è la matrice ottenuta da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna.

In pratica, il cofattore è il determinante della sottomatrice M[i][j] che ottieni eliminando la riga e la colonna dell'elemento.

Ecco un esempio pratico.

Considera questa matrice

$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

L'elemento sulla prima riga (i=1) e prima colonna (j=1) è il valore "1".

Per calcolare il suo cofattore C[1][1], ottieni la sottomatrice M[1][1] eliminando la riga e la colonna dove si trova l'elemento.

Poi il determinante della sottomatrice M[1][1] e moltiplicalo per -1^i+j

$$ C[1][1]= (-1)^{(i+j)} \cdot \det(M[i][j]) $$

Sostituisci la posizione dell'elemento i=1 e j=1

$$ C[1][1]= (-1)^{(i+j)} \cdot \det(M[1][1]) $$

$$ C[1][1]= (-1)^{(1+1)} \cdot \det \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} $$

$$ C[1][1]= (-1)^2 \cdot ( 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 ) $$

$$ C[1][1]= 1 \cdot ( 45 - 48 ) $$

$$ C[1][1]= 1 \cdot ( - 3 ) $$

$$ C[1][1]= -3 $$

Hai trovato il cofattore C[1][1] dell'elemento M[1][1]

Quindi, puoi cominciare a riempire la matrice dei cofattori di M

$$ C_M = \begin{pmatrix} C[1][1] & C[1][2] & C[1][3] \\ C[2][1] & C[2][2] & C[2][3] \\ C[3][1] & C[3][2] & C[3][3] \end{pmatrix} $$

Ogni C[i][j] è il cofattore dell'elemento corrispondente M[i][j].

Sostituisci C[1][1] = -3

$$ C_M = \begin{pmatrix} -3 & C[1][2] & C[1][3] \\ C[2][1] & C[2][2] & C[2][3] \\ C[3][1] & C[3][2] & C[3][3] \end{pmatrix} $$

Ora ripeti il calcolo del cofattore C[i][j] per ogni altro elemento della matrice M.

$$ C_M = \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8\end{pmatrix} \\ - \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$

$$ C_M = \begin{pmatrix} 45-48 & - (36 - 42) & 32 - 35 \\ - ( 18-24) & 9 - 21 & - ( 8 - 14) \\ 12 - 15 & - (6-12) & 5 - 8 \end{pmatrix} $$

Il risultato finale è la matrice dei cofattori di M.

$$ C_M = \begin{pmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix} $$

A cosa serve la matrice dei cofattori? La matrice dei cofattori è un concetto fondamentale nel calcolo dell'inverso di una matrice. Infatti, la matrice inversa di M, se esiste, puoi calcolarla come la trasposta della matrice dei cofattori C di M, divisa per il determinante di M. $$ M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot C_M^T $$