Il rango di una matrice
In questa lezione ti spiego cos'è il rango di una matrice e come si calcola.
Il rango di una matrice è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti presenti nella matrice.
E' un'informazione fondamentale in algebra lineare perché ti permette di risolvere i sistemi lineari e studiare le applicazioni lineari.
$$ rank(A) $$
Il rango di una matrice è indicato in diversi modi, tra cui rango(A), rg(A), r(A), ρ(A), o nelle versioni inglesi rank(A) o rk(A).
E' anche detto caratteristica della matrice.
Come si calcola il rango? Esistono vari metodi a seconda della dimensione della matrice. Per trovare il rango di una matrice quadrata o rettangolare di piccole dimensioni puoi usare il criterio dei minori. In questo caso devi cercare l'ordine (n) più alto delle sottomatrici quadrate con determinante non nullo che si trovano dentro la matrice. Se la matrice è di grandi dimensioni, invece, ti conviene calcolare il rango usando altri metodi, come l'algoritmo di Gauss, che trasforma la matrice in una matrice a scalini con lo stesso rango.
Ti faccio un esempio pratico.
Questa matrice M è composta da 2 righe e 3 colonne.
$$ M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} $$
E' una matrice di piccole dimensioni.
Quindi, ti conviene usare il criterio dei minori per trovare il rango.
Dentro questa matrice ci sono tre matrici quadrate di ordine n=2 ossia con due righe e due colonne.
$$ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$
Ora calcola il determinante delle sottomatrici quadrate.
$$ \Delta \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 3-2 =1 $$
$$ \Delta \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot 3 - 0 \cdot 2 = 9 $$
$$ \Delta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - 0 \cdot 1 = 3 $$
In questo caso c'è almeno una matrice con determinante non nullo.
Quindi il rango della matrice M è r=n=2.
$$ r(M) = 2 $$
Nota. In questo esempio ti ho fatto calcolare il determinante di tutte le sottomatrici. In realtà, una volta che trovi una sottomatrice con determinante non nullo puoi interrompere il calcolo, perché hai già trovato il rango della matrice.
E se tutte le sottomatrici quadrate hanno il determinante nullo?
Quando tutte le sottomatrici hanno il determinante nullo, ripeti lo stesso controllo sulle sottomatrici di ordine inferiore .
Se questa lezione di algebra lineare spiegata in modo semplice ti piace, continua a seguirci.
Le proprietà del rango di una matrice
Il rango di una matrice ha diverse proprietà importanti:
- Solo la matrice nulla ha rango 0.
- Il rango di una matrice è uguale al rango della sua trasposta.
- Il rango di una matrice è minore o uguale sia al numero di righe che al numero di colonne.
- Se una matrice è invertibile, allora ha rango massimo.
- Il rango di una matrice è un invariante completo per matrici equivalenti destra-sinistra.
- Il rango è la dimensione di un sottospazio generato dalle colonne o dalle righe della matrice.
- Il rango è la dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare associata alla matrice.
- Il rango è il massimo ordine di un minore invertibile della matrice.
Quali sono le applicazioni del rango?
Il rango è un concetto fondamentale in algebra lineare e ha molte applicazioni.
Ad esempio, puoi utilzzarlo per risolvere i sistemi di equazioni lineari, studiare le applicazioni lineari e le trasformazioni lineari, e per analizzare le proprietà delle matrici.
Inoltre, il rango è un concetto chiave nella teoria delle matrici, e ha importanti implicazioni per la struttura e le proprietà delle matrici.
