Le matrici quadrate
In algebra lineare una matrice quadrata è una matrice che ha lo stesso numero di righe e colonne.
Se una matrice ha n righe e n colonne, la chiamiamo matrice quadrata di ordine n.
Ecco un esempio pratico.
Questa matrice ha tre righe e tre colonne.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Pertanto, è una matrice quadrata di ordine 3.
Le matrici quadrate sono uno strumento fondamentale nell'algebra lineare e in molte altre aree della matematica, perché hanno proprietà utili in molte applicazioni scientifiche e ingegneristiche.
Le diagonali della matrice quadrata
Ogni matrice quadrata è caratterizzata da due diagonali
- La diagonale principale
La diagonale principale è l'insieme degli elementi arc della matrice che si estendono dal primo elemento della prima riga all'ultimo elemento dell'ultima riga.Esempio. In questa matrice la diagonale principale è composta dai valori 1, 5, 9 $$ \begin{pmatrix} \color{red}1 & 2 & 3 \\ 4 & \color{red}5 & 6 \\ 7 & 8 & \color{red}9 \end{pmatrix} $$
- La diagonale secondaria (o antidiagonale)
La diagonale secondaria è l'insieme degli elementi arc della matrice che si estendono dall'ultimo elemento della prima riga al primo elemento dell'ultima riga.Esempio. In questa matrice la diagonale secondaria è composta dai valori 3, 5, 7 $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \color{red}3 \\ 4 & \color{red}5 & 6 \\ \color{red}7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Tipi di matrici quadrate
Esistono diversi tipi speciali di matrici quadrate.
Ognuna di queste matrici ha proprietà uniche che le rendono utili in vari contesti matematici e scientifici.
- Le matrici diagonali
Una matrice quadrata è definita diagonale se tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono zero.
Esempio. In questa matrice gli elementi non nulli si trovano solo sulla diagonale principale. Pertanto, è una matrice diagonale. $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} $$
- Le matrici triangolari superiori e inferiori
Una matrice quadrata è definita triangolare superiore se tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono zero, e triangolare inferiore se tutti gli elementi sopra la diagonale principale sono zero.
Esempio. In questa matrice gli elementi nulli si trovano sotto la diagonale principale. Pertanto, è una matrice triangolare superiore. $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix} $$ In quest'altra matrice, invece, gli elementi nulli si trovano sopra la diagonale principale. Pertanto, è una matrice triangolare inferiore. $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
- Le matrici identità
La matrice identità è una matrice quadrata particolare in cui tutti gli elementi sulla diagonale principale sono uguali a 1 e tutti gli altri elementi sono uguali a 0. La matrice identità è un elemento neutro per la moltiplicazione di matrici.
Esempio. In questa matrice gli elementi sulla diagonale principale sono 1 mentre tutti gli altri sono 0. Pertanto, è una matrice identità. $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
- Le matrici invertibili
Una matrice M è invertibile se esiste un'altra matrice M-1 detta "matrice inversa" tale che il prodotto delle due matrici restituisce la matrice identità $$ M \cdot M^{-1} = I $$Esempio. Questa matrice M è invertibile $$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} $$ perché esiste un'altra matrice M-1 (matrice inversa) $$ \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$ tale che il loro prodotto è uguale alla matrice identità $$ M \cdot M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Non tutte le matrici quadrate sono invertibili, cioè hanno una matrice inversa. Ad esempio, le matrici quadrate con determinante nullo non sono invertibili.
- Le matrici simmetriche
Una matrice simmetrica è una matrice quadrata in cui gli elementi al di sopra della diagonale principale sono specchiati rispetto a quelli al di sotto della diagonale principale.
Esempio. Ecco un esempio di matrice quadrata simmetrica. $$ \begin{pmatrix} 1 & \color{red}2 & \color{blue}3 \\ \color{red}2 & 5 & \color{green}6 \\ \color{blue}3 & \color{green}6 & 9 \end{pmatrix} $$ In pratica, la matrice è uguale alla sua trasposta. $$ M = M^T $$
- Le matrici antisimmetriche
Una matrice antisimmetrica (o skew-simmetrica) è una matrice quadrata in cui gli elementi al di sopra della diagonale principale sono l'opposto di quelli specchiati al di sotto della diagonale principale.
Esempio. Ecco un esempio di matrice quadrata simmetrica. $$ \begin{pmatrix} 1 & \color{red}2 & \color{blue}3 \\ -\color{red}2 & 5 & -\color{green}6 \\ - \color{blue}3 & \color{green}6 & 9 \end{pmatrix} $$ In pratica, la matrice è uguale alla sua matrice opposta trasposta. $$ M = -M^T $$
Le operazioni con le matrici quadrate
Le matrici quadrate possono essere sommate, sottratte e moltiplicate tra loro, a condizione che abbiano lo stesso ordine, ossia che abbiano lo stesso numero di righe e di colonne.
Esempio. Ecco un esempio di somma tra due matrici quadrate di ordine 2 $$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+1 & 3+4 \\ 5+2 & -1+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 7 & 6 \end{pmatrix} $$
Alcuni concetti utili delle matrici quadrate
- Traccia
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi sulla sua diagonale principale. Il determinante di una matrice quadrata è un valore speciale calcolato da tutti gli elementi della matrice.
Esempio. In questa matrice gli elementi sulla diagonale principale sono 1, 5, 9 $$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 7 & 9 \end{pmatrix} $$ Pertanto, la traccia della matrice è la somma 1+5+9 ossia 15 $$ TR_M = 1+5+9 = 15 $$
- Determinante
Il determinante è un numero associato alla matrice. E' molto utile perché ti permette di capire se la matrice ha una matrice inversa e ti consente di risolvere un sistema di equazioni lineari.
Esempio. Il determinante di questa matrice è -2 $$ M= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ perché $$ \det(M) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 $$ Pertanto, la matrice M è invertibile. Per imparare a calcolare il determinante di una matrice quadrata, ti invito a leggere la nostra lezione dedicata al calcolo del determinante.
- Autovalori e autovettori
Un altro concetto chiave nell'algebra lineare è quello di autovalori e autovettori. Un autovalore di una matrice quadrata è uno scalare λ che soddisfa l'equazione Ax = λx, dove A è la matrice quadrata e x è un vettore non nullo chiamato autovettore.
Queste sono solo alcune delle caratteristiche e operazioni che puoi calcolare in una matrice quadrata.
