La matrice inversa
In questo tutorial ti spiego cos'è e come si calcola una matrice inversa.
Cos'è la matrice inversa? In matematica, la matrice inversa di una matrice quadrata A è una matrice, indicata come A-1, tale che, quando moltiplicata con A, produce la matrice identità. Ovvero, se A è una matrice quadrata di ordine n, allora una matrice B di ordine n è l'inversa di A se: $$ AB = BA = I $$ dove I è la matrice identità di ordine n.
Non tutte le matrici hanno un inverso. Una matrice ha un inverso se e solo se il suo determinante non è zero.
Le matrici che hanno una matrice inversa sono dette matrici invertibili.
Le matrici che, invece, non hanno un inverso sono chiamate "matrici singolari" o "non invertibili".
Un esempio
Considera la matrice quadrata 2x2 di ordine n=2
$$ M= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
La matrice M è invertibile perché esiste un'altra matrice M-1 detta matrice inversa
$$ M^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$
tale che il prodotto M·M-1 restituisce la matrice identità.
$$ M \cdot M^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$
Svolgi la moltiplicazione riga per colonna delle due matrici.
$$ M \cdot M^{-1}= \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 2 \cdot (-4) & 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\ 4 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) & 4 \cdot (-2) + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} $$
$$ M \cdot M^{-1}= \begin{pmatrix} 9 -8 & -6 + 6 \\ 12 - 12 & -8 + 9 \end{pmatrix} $$
Il risultato finale è una matrice identità di ordine 2
$$ M \cdot M^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
La matrice identità è una matrice con tutti 1 sulla diagonale principale e 0 altrove.
Quindi, la matrice M è invertibile e la matrice M-1 è la sua inversa.
Come si trova la matrice inversa
Esistono vari modi per calcolare la matrice inversa, a seconda della dimensione della matrice.
Per una matrice 2x2
$$ A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$
puoi calcolare la sua matrice inversa A-1 usando questa formula
$$ M^{-1}= \frac{1}{ \det(M) } \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$
Dove det(A) è il determinante della matrice A.
Esempio. Considera questa matrice
$$ M= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$
I valori della matrice sono a=3, b=2, c=4 e d=3.
Il determinante della matrice M è det(M)=1
$$ \det(M)= 3 \cdot 3 - 4 \cdot 2 = 9-8 = 1 $$
Il determinante diverso da zero, quindi la matrice M è invertibile e puoi continuare il calcolo.
Ora sostituisci i valori nella formula precedente per trovare la sua matrice inversa.
$$ M^{-1}= \frac{1}{ \det(M) } \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$
$$ M^{-1}= \frac{1}{ 1 } \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$
Quindi, la sua matrice inversa è
$$ M^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} $$
Per matrici di dimensioni superiori a 2x2 il calcolo dell'inversa diventa più complesso.
Per una matrice 3x3 puoi usare questa formula
$$ M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot adjoint(M) $$
Dove adjoint(M) è la matrice aggiunta e det(M) il determinante della matrice.
Esempio. Considera questa matrice 3x3
$$ M= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} $$
Il determinante della matrice M è det(M)=1
$$ \det(M)= 1 \cdot (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 \cdot (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 \cdot (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) $$
$$ \det(M)= 1 \cdot (0 - 24) - 2 \cdot (0 - 20) + 3 \cdot (0 - 5) $$
$$ \det(M)= 1 \cdot (-24) - 2 \cdot (- 20) + 3 \cdot (- 5) $$
$$ \det(M)= -24 +40 -15 $$
$$ \det(M)= 1 $$
Essendo il determinante diverso da zero, la matrice è invertibile
Ora calcola la matrice aggiunta della matrice M.
$$ adjoint(M)= \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 4 & 0\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6\end{pmatrix} \\ - \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6\end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}^T $$
$$ adjoint(M)= \begin{pmatrix} -24 & 20 & - 5 \\ 18 & -15 & 4 \\ 5 & - 4 & 1 \end{pmatrix}^T $$
Ora trasponi la matrice trasformando le righe in colonne
$$ adjoint(M)= \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} $$
A questo punto puoi calcolare la matrice inversa usando la formula seguente
$$ M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot adjoint(M) $$
$$ M^{-1} = \frac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} $$
Quindi, la matrice inversa è
$$ M^{-1}= \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix} $$
E per le matrici di ordine superiore a tre?
Puoi usare il metodo della matrice aggiunta anche per calcolare l'inversa delle matrici di dimensioni superiori a 3, ma il calcolo diventa molto più complicato con l'aumentare delle dimensioni.
Se la matrice ha dimensioni superiori a tre esistono altre tecniche più semplici per il calcolo della matrice inversa. Ad esempio, il metodo di Gauss Jordan.
