La matrice aggiunta
La matrice aggiunta di una matrice quadrata A è la trasposta della matrice dei cofattori di A. $$ adj(A) = cof(A)^T$$
È un concetto utilizzato nel calcolo dell'inverso di una matrice quadrata.
Ricorda che la matrice aggiunta è definita solo per matrici quadrate, ossia per le matrici che hanno lo stesso numero di righe e di colonne.
Il calcolo della matrice aggiunta
Per trovare la matrice aggiunta di una matrice, segui questi passaggi:
- Trova la matrice dei cofattori di A
La matrice dei cofattori è la matrice ottenuta calcolando il cofattore per ogni elemento di A. $$ cof(A) $$Nota. Il cofattore di un elemento in una matrice è (-1)(i+j) volte il determinante della sotto-matrice ottenuta rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna.
In altre parole, nelle matrici 2x2 $$ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$ la matrice dei cofattori è $$ cof(A) = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} $$ nelle matrici 3x3 $$ A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} $$ la matrice dei cofattori è $$ cof(A)= \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} e & f \\ h & i\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} d & f \\ g & i\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} d & e \\ g & h \end{pmatrix} \\ - \det \begin{pmatrix} b & c \\ h & i\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} a & c \\ g & i\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} a & b \\ g & h \end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix} b & c \\ h & i\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} a & c \\ d & f\end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} a & b \\ d & e \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$ Per creare la matrice dei cofattori, per ciascun elemento elimina la corrispondente riga e colonna, poi calcola il determinante alternando i segni + e -.
- Trasponi la matrice dei cofattori. La trasposizione di una matrice si ottiene scambiando le righe con le colonne. La matrice risultante è la matrice aggiunta di A. $$ adj(A) = cof(A)^T $$
A cosa serve la matrice aggiunta? La matrice aggiunta è importante perché ti aiuta a trovare la matrice inversa di una matrice quadrata. Se A è una matrice invertibile, allora la matrice inversa di A è 1/det(A) volte l'aggiunta di A, dove det(A) è il determinante di A. $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot adj(A) $$
Nei prossimi paragrafi vedremo degli esempi pratici e le principali proprietà delle matrici aggiunte in algebra lineare.
Un esempio pratico
Ecco un esempio pratico.
Considera questa matrice 2x2.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
In questo caso a=1, b=2, c=3, d=4.
Quindi, la matrice dei cofattori di A è
$$ cof(A) = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} $$
$$ cof(A) = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$
Ora calcola la trasposta della matrice dei cofattori e ottieni la matrice aggiunta di A
$$ adj(A) = cof(A)^T = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} $$
Ti faccio un altro esempio.
Considera una matrice 3x3
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
Calcola la matrice dei cofattori.
$$ cof(A)= \begin{pmatrix} \det \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ - \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \\ \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 5\end{pmatrix} & - \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} & \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$
$$ cof(A)= \begin{pmatrix} \det (-1) & - \det (3) & \det (3) \\ - \det (2) & \det (1) & - \det (1) \\ \det (10) & - \det (5) & \det (-2) \end{pmatrix} $$
$$ cof(A)= \begin{pmatrix} -1 & - 3 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 10 & -5 & -2 \end{pmatrix} $$
Infine, calcola la trasposta della matrice dei cofattori per ottenere la matrice aggiunta di A
$$ adj(A) = cof(A)^T = \begin{pmatrix} -1 & - 2 & 10 \\ -3 & 1 & -5 \\ 3 & -1 & -2 \end{pmatrix} $$
Puoi usare lo stesso metodo anche per calcolare le matrici quadrate di ordine superiore a 3, quelle con più di tre righe e colonne. Tuttavia, la complessità dei calcoli aumenta con il crescere delle dimensioni delle matrici.
Le proprietà delle matrici aggiunte
Ecco le proprietà delle matrici aggiunte con le formule espresse in MathJax:
- Proprietà dell'Inversa
Se A è una matrice invertibile, allora l'inversa di A può essere espressa in termini della matrice aggiunta e del determinante di A. $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)$$ - Proprietà del Determinante
Per ogni matrice quadrata A, vale la seguente identità: $$A \cdot \text{adj}(A) = \text{det}(A) \cdot I$$ dove I è la matrice identità della stessa dimensione di A. - Proprietà della Trasposta
La matrice aggiunta della trasposta di A è la trasposta della matrice aggiunta di A: $$\text{adj}(A^T) = (\text{adj}(A))^T$$ - Proprietà del Prodotto
Per due matrici quadrate A e B dello stesso ordine, si ha: $$\text{adj}(AB) = \text{adj}(B) \cdot \text{adj}(A)$$ Questa proprietà mostra che l'operazione di aggiunta si comporta in modo simile all'inversione rispetto al prodotto di matrici. - Proprietà della Potenza
Per una matrice quadrata A e un intero non negativo k, si ha: $$\text{adj}(A^k) = (\text{adj}(A))^k$$ - Proprietà dell'Aggiunta dell'Aggiunta
L'aggiunta della matrice aggiunta di A è uguale a \(det(A)^{n-2} \cdot A\) per una matrice A di ordine n: $$\text{adj}(\text{adj}(A)) = \text{det}(A)^{n-2} \cdot A$$
Queste proprietà ti forniscono un quadro abbastanza completo del comportamento delle matrici aggiunte nelle principali operazioni matriciali.
