Matrici simplettiche

Le matrici simplettiche sono matrici quadrate di dimensione \(2n \times 2n\) che soddisfano la particolare proprietà $$ M^TJM = J\ $$ dove \(M^T\) è la trasposta di \(M\), e \(J\) è una matrice antisimmetrica definita come $$ J \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix} $$ con \(I_n\) che rappresenta la matrice identità di dimensione \(n \times n\).

Questa proprietà assicura che le matrici simplettiche preservino una specifica struttura geometrica, chiamata struttura simplettica, fondamentale nello studio di sistemi dinamici e fisici.

La condizione che definisce una matrice simplettica può essere espressa come segue:

$$ M^TJM=J $$

Dove $ M $ è la matrice simplettica di dimensione 2n×2n, $ M^T $ è la trasposta di $ M $, e $ J $ è una matrice antisimmetrica specifica di dimensione 2n×2n definita da:

$$ J= \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix} $$

In questa definizione, $ I_n $​ rappresenta la matrice identità di dimensione n×n.

La matrice J è costruita in modo da avere blocchi di matrici identità e loro negativi disposti in modo antisimmetrico. Questa struttura particolare di J è essenziale per la definizione delle proprietà simplettiche.

Le proprietà delle matrici simplettiche:

Le matrici simplettiche godono di alcune proprietà interessanti:

• Invertibilità
  Ogni matrice simplettica è invertibile, e l'inversa di una matrice simplettica è anch'essa simplettica. In altre parole, se $ M $ è simplettica, allora $ M^{−1} $ esiste ed è simplettica.
• Preservazione della struttura simplettica
  La moltiplicazione di un vettore dello spazio fase per una matrice simplettica preserva la struttura simplettica dello spazio, il che significa che le proprietà geometriche fondamentali dello spazio sono mantenute.
• Conservazione del volume
  Le trasformazioni simplettiche conservano il volume nello spazio delle fasi, una proprietà nota come teorema di Liouville in meccanica classica.
• Composizione
  Il prodotto di due matrici simplettiche è ancora una matrice simplettica. Questo implica che l'insieme delle matrici simplettiche forma un gruppo sotto la moltiplicazione di matrici.

L'importanza delle matrici simplettiche deriva dalla loro capacità di rappresentare trasformazioni che conservano una struttura geometrica fondamentale in fisica, il che le rende strumenti potenti nello studio dei sistemi fisici, specialmente nella formulazione di equazioni del moto e nella teoria della conservazione.

Le matrici simplettiche hanno un ruolo fondamentale in diverse aree della matematica e della fisica, specialmente in meccanica classica, meccanica quantistica, e teoria dei sistemi dinamici, dove la conservazione della struttura simplettica è legata alla conservazione delle proprietà fondamentali dei sistemi fisici durante l'evoluzione temporale.

Esempio

Esempio 1

Un esempio di matrice simplettica 2nx2n con n=1 è la matrice seguente:

$$ M = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$

In questo caso la matrice J si presenta in questa forma:

$$ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Verifichiamo che \( M \) sia effettivamente una matrice simplettica moltiplicando \( M^T J M \) e mostrando che il risultato è uguale a \( J \):

$$ M^T = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$

$$ M^T J = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ -\cos(\theta) & -\sin(\theta) \end{pmatrix} $$

$$ M^T J M = \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ -\cos(\theta) & -\sin(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}  $$

$$ M^T J M =  J $$

Il risultato finale è la matrice J. Quindi la matrice M è una matrice simplettica.

Esempio 2

Questa matrice 2nx2x con n=2 è un altro esempio di matrice simplettica.

\[
M = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\]

La matrice J per n=2 è composta da due blocchi 2x2: il blocco superiore destro è una matrice identità \( I_2 \), e il blocco inferiore sinistro è l'opposto di una matrice identità \( -I_2 \). I blocchi diagonali principali sono zeri.

\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

La matrice \( M \) soddisfa la proprietà simplettica

$$ M^T J M = J $$ 

$$ M^T = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$
M^T J = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$ M^TJM =  \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$ M^T J M = J $$ 

Il risultato finale conferma che la matrice M è una matrice simplettica.