Il prodotto di Hadamard
Il prodotto di Hadamard è un'operazione matematica che moltiplica gli elementi corrispondenti tra due matrici o vettori e restitusice una matrice o un vettore della stessa dimensione.
Questa operazione è anche nota come moltiplicazione componente per componente o prodotto elemento per elemento.
Ogni elemento nella matrice (o vettore) risultante è il prodotto degli elementi corrispondenti nelle matrici (o vettori) originali.
Ecco un esempio pratico.
Considera due vettori
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} $$
Per calcolare il prodotto di Hadamard i due vettori devono avere lo stesso numero di componenti, ossia di elementi. In questo esempio entrambi i vettori hanno tre elementi.
Il prodotto di Hadamard dei vettori v e w è un nuovo vettore che ottieni moltiplicando ogni elemento corrispondente di v e w insieme:
$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 4 \\ -1 \cdot 5 \\ 3 \cdot (-2) \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v} \cdot \vec{w} = \begin{pmatrix} 8 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix} $$
Puoi calcolare il prodotto di Hadamard anche tra due matrici.
In questo caso, ogni elemento (i, j) della matrice risultante è il prodotto degli elementi (i, j) delle matrici originali.
Ad esempio, considera queste due matrici 2x2
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
$$ B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$
Nel caso del prodotto componente per componente, le matrici devono avere la stessa dimensione. Non devono essere necessariamente matrici quadrate, posso anche essere matrici rettangolari. Quello che conta è che abbiano lo stesso numero di righe e di colonne.
Poi calcola il prodotto componente per componente di queste matrici
$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$
$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 & 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 7 & 4 \cdot 8 \end{pmatrix} $$
$$ A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ 21 & 32 \end{pmatrix} $$
Ricorda che in matematica il prodotto di Hadamard è meno usato rispetto ad altri tipi di moltiplicazione vettoriale o matriciale.
Quindi, calcola il prodotto di Hadamard solo se viene richiesta una moltiplicazione elemento per elemento.
Se non è espressamente indicata, devi utilizzare il metodo del prodotto riga per colonna per moltiplicare due matrici. Nel caso della moltiplicazione tra due vettori, invece, devi svolgere il prodotto vettoriale oppure il prodotto scalare.
Il prodotto di Hadamard è usato solo in casi particolari della statistica, della teoria dei segnali e dell'apprendimento automatico.
