La traccia di una matrice
La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi che si trovano sulla diagonale principale.
Ricorda che la traccia è definita solo per le matrici quadrate, ovvero le matrici con lo stesso numero di righe e colonne.
Ecco un esempio pratico.
Considera la seguente matrice 3x3:
$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 7 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$
La traccia della matrice A è la somma degli elementi sulla diagonale principale: 4+5+3
$$ Tr(A) = 4+5+3 = 12 $$
In genere la traccia di una matrice è indicata con il simbolo "tr(A)" o "Tr(A)".
Si tratta di una somma algebrica, quindi nel calcolo di una traccia gli elementi negativi vanno sottratti. Ad esempio, se hai questa matrice $$ B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & -1 \\ 7 & 2 & \color{red}{-3} \end{pmatrix} $$ Il calcolo della traccia è uguale a 6. $$ Tr(A) = 4+5+(-3) = 9-3=6 $$
Le proprietà della traccia
La traccia di una matrice soddisfa alcune proprietà interessanti
- La traccia della somma di due matrici quadrate A e B è uguale alla somma delle traccie delle due matrici $$ Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B) $$
- La traccia del prodotto di una matrice per un numero scalare k è uguale al prodotto della traccia della matrice per lo scalare k $$ Tr(k \cdot A) = k \cdot Tr(A) $$
- La traccia del prodotto di due matrici quadrate A·B è uguale alla traccia del prodotto B·A con l'ordine dei fattori invertito $$ Tr(A \cdot B)=Tr(B \cdot A) $$
- La traccia di una matrice A è uguale alla traccia della trasposta della matrice A ossia di AT $$ Tr(A) = Tr(A^T) $$
