La matrice trasposta

La matrice trasposta M^T di una matrice M puoi ottenerla scambiando le righe con le colonne.

In altre parole, l'elemento nella i-esima riga e j-esima colonna della matrice originale diventa l'elemento nella j-esima riga e i-esima colonna della matrice trasposta.

Un esempio di matrice trasposta

Ecco un esempio pratico.

Considera la matrice A

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$

Si tratta di una matrice 2x3 con due righe e tre colonne.

Per costruire la sua matrice trasposta trasforma le righe in colonne (o viceversa).

$$ A^T= \begin{pmatrix} 1 & 4 & \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} $$

Il risultato finale è la matrice trasposta A^T.

• La prima riga della matrice A è diventata la prima colonna della matrice trasposta A^T.
• La seconda riga della matrice A è diventata la conda colonna della matrice trasposta A^T.

In generale, se A è una matrice m x n, allora A^T è una matrice n x m dove l'elemento (i, j) di A^T è l'elemento (j, i) di A.

Le proprietà delle matrici trasposte

Le matrici trasposte hanno diverse proprietà utili.

Ecco le principali proprietà.

1. La trasposta di una matrice trasposta ritorna alla matrice originale. In altre parole, se prendi la trasposta due volte, ottieni la matrice di partenza. $$ (A^T)^T = A $$

2. La trasposta della somma di due matrici è uguale alla somma delle trasposte di queste due matrici. $$ (A+B)^T = A^T+B^T $$

3. Quando moltiplichi due matrici e poi calcoli la trasposta, ottieni lo stesso risultato se prima prendi le trasposte delle matrici e poi le moltiplichi invertendo l'ordine dei fattori. $$ (AB)^T = B^TA^T $$

4. Questa proprietà si estende anche a più matrici: la trasposta del prodotto di più matrici è uguale al prodotto delle trasposte delle matrici, prese in ordine inverso. $$ (ABC)^T = C^TB^TA^T $$

5. Se moltiplichi una matrice per uno scalare k e poi calcoli la trasposta, ottieni lo stesso risultato se prima prendi la trasposta della matrice e poi la moltiplichi per lo scalare. $$ (ka)^T = kA^T $$

6. Il determinante di una matrice quadrata e della sua trasposta sono uguali. $$ \det(A) = det(A^T) $$

7. Il prodotto scalare tra due vettori può essere calcolato come il prodotto della trasposta del primo vettore per il secondo vettore. $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a}^T = \vec{b} $$

8. Se una matrice A ha solo elementi reali, il prodotto della matrice per la sua trasposta AA^T è una matrice simmetrica semidefinita positiva.

9. La trasposta di una matrice invertibile è anch'essa invertibile, e la sua inversa è la trasposta dell'inversa della matrice originale. $$ (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T $$

10. Se la trasposta di una matrice è uguale alla sua inversa A^T=A^-1, allora quella matrice è definita ortogonale.

11. Se una matrice A è quadrata, i suoi autovalori sono gli stessi della sua trasposta.