Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale è un insieme di vettori chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione per uno scalare, che soddisfa le proprietà di associatività, commutatività, e distributività, oltre all'esistenza dell'elemento neutro e dell'elemento opposto.

Cos'è uno spazio vettoriale
Come verificare se n vettori formano la base di uno spazio vettoriale
Esempio

Cos'è uno spazio vettoriale

Per capire cos'è uno spazio vettoriale, devi immaginare di avere due insiemi non vuoti

Un insieme S composto da elementi detti "vettori"
Un insieme R composto da numeri reali detti "scalari"

L'insieme S include elementi denominati "vettori", ma questi non sono necessariamente vettori nel senso tradizionale.

Ad esempio, puoi formare uno spazio vettoriale utilizzando i vettori nel piano R² o dello spazio R³, ma puoi anche costruire uno spazio vettoriale composto solo da matrici M(p,q,R). Pertanto, gli spazi vettoriali non sono limitati ai soli vettori.

Nell'insieme S sono definite due operazioni binarie:

L'addizione
Se prendi due vettori nello spazio vettoriale e li sommi, il risultato è ancora un vettore nello spazio vettoriale. $$ \forall \ v,w \in S \Rightarrow v+w \in S $$
La moltiplicazione per uno scalare
Se prendi un vettore nello spazio vettoriale e lo moltiplichi per un numero (uno scalare), il risultato è ancora un vettore nello spazio vettoriale. $$ \forall \ v \in S \ , \ k \in R \Rightarrow k \cdot v \in S $$

Queste due operazioni sono "binarie" perché prendono come argomenti in entrata due elementi, di cui almeno uno dell'insieme S (vettori).

L'addizione è l'operazione binaria interna perché utilizza come argomenti due vettori dell'insieme S e restituisce un risultato che appartiene ancora all'insieme S. La moltiplicazione per uno scalare è, invece, l'operazione binaria esterna perché utilizza un vettore dell'insieme S e un numero scalare k dell'insieme R.

L'insieme S, con le operazioni di addizione e moltiplicazione per uno scalare, è definito come uno spazio vettoriale su R se rispetta le seguenti proprietà:

Commutatività dell'addizione
l'ordine in cui sommi due vettori non cambia il risultato (cioè, v + w = w + v per tutti i vettori v e w).
$$ v + w = w + v \quad \text{per ogni} \ v, w \in V $$
Associatività dell'addizione
se sommi tre vettori, non importa in quale ordine li sommi (cioè, (u + v) + w = u + (v + w) per tutti i vettori u, v, e w).
$$ (u + v) + w = u + (v + w) \quad \text{per ogni} \ u, v, w \in V $$
Esistenza di un vettore zero
c'è un vettore speciale, chiamato vettore zero, che quando viene aggiunto a qualsiasi altro vettore non cambia l'altro vettore (cioè, v + 0 = v per tutti i vettori v).
$$ \exists \ 0 \in V \ \text{tale che} \ v + 0 = u \quad \text{per ogni} \ v \in V $$
Esistenza di un vettore opposto
per ogni vettore, c'è un altro vettore che, quando viene aggiunto, dà il vettore zero. Cioè, per ogni vettore v, esiste un vettore -v tale che v + (-v) = 0.
$$ \forall v \in V, \ \exists \ (-v) \in V \ \text{tale che} \ v + (-v) = 0 $$
Associatività della moltiplicazione per scalari
se moltiplichi un vettore per due scalari, non importa in quale ordine lo fai (cioè, a * (b * v) = (a * b) * v per tutti i vettori v e scalari a, b).
$$ a(b(v)) = (ab)v \quad \text{per ogni} \ v \in V \ \text{e per ogni} \ a, b \in \mathbb{R} $$
Distributività della moltiplicazione per uno scalare rispetto all'addizione di vettori
se sommi due vettori e poi moltiplichi il risultato per uno scalare, ottieni lo stesso risultato se moltiplichi ogni vettore per lo scalare e poi sommi i risultati (cioè, a * (v + w) = a * v + a * w per tutti i vettori v, w e scalari a).
$$ a(v + w) = av + aw \quad \text{per ogni} \ v, w \in V \ \text{e per ogni} \ a \in \mathbb{R} $$
Distributività dell'addizione di scalari rispetto alla moltiplicazione per uno scalare
se sommi due scalari e poi moltiplichi un vettore per il risultato, ottieni lo stesso risultato se moltiplichi il vettore per ogni scalare e poi sommi i risultati (cioè, (a + b) * v = a * v + b * v per tutti i vettori v e scalari a, b).
$$ (a + b)v = av + bv \quad \text{per ogni} \ v \in V \ \text{e per ogni} \ a, b \in \mathbb{R} $$
Moltiplicazione per uno scalare con 1
moltiplicare un vettore per lo scalare 1 non cambia il vettore (cioè, 1 * v = v per tutti i vettori v).
$$ 1v = v \quad \text{per ogni} \ v \in V $$

Se un insieme di vettori rispetta tutti questi assiomi, allora è uno spazio vettoriale.

Come verificare se n vettori formano la base di uno spazio vettoriale

Per verificare se un insieme di $ n $ vettori forma uno spazio vettoriale, puoi seguire due approcci principali.

Verificare che tutte le otto proprietà dello spazio vettoriale siano soddisfatte
Questo metodo consiste nel verificare che i vettori soddisfino l'associatività e la commutatività dell'addizione, l'esistenza dell'elemento neutro e dell'elemento opposto, le proprietà distributive e l'associatività della moltiplicazione per scalari, e così via.
Verificare che gli $ n $ vettori che generano lo spazio siano linearmente indipendenti
Questo è un metodo alternativo per verificare l'esistenza di uno spazio vettoriale ed è molto più efficiente, soprattutto in spazi vettoriali generati da $ n $ vettori. E' sufficiente verificare che gli $ n $ vettori della base siano linearmente indipendenti. L'indipendenza lineare implica che nessuno dei vettori di base può essere scritto come combinazione lineare degli altri e garantisce che tutte le proprietà necessarie di uno spazio vettoriale siano soddisfatte.
Dati $ n $ vettori $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$, questi sono linearmente indipendenti se e solo se l'unica combinazione lineare che produce il vettore nullo è quella in cui tutti i coefficienti sono zero: $$ a_1\mathbf{v}_1 + a_2\mathbf{v}_2 + \ldots + a_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} \Leftrightarrow a_1 = a_2 = \ldots = a_n = 0 $$ Se questa condizione è soddisfatta, i vettori sono detti linearmente indipendenti.

In altre parole, ogni vettore dello spazio può essere espresso come combinazione lineare unica dei vettori di base.

Quindi, dimostrando l'indipendenza lineare dei vettori di base, puoi concludere che questi generano uno spazio vettoriale, senza dover verificare esplicitamente tutte le proprietà.

Questo approccio semplifica significativamente il processo di verifica, rendendolo più pratico e veloce in molti problemi.

Esempio

Consideriamo i vettori $\mathbf{v} = (1, 2)$ e $\mathbf{w} = (1, 3)$ come base.

Lo spazio vettoriale generato da questi due vettori è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$. Formalmente, questo spazio è definito come:

\[
\text{span}(\{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}) = \{ a\mathbf{v} + b\mathbf{w} \mid a, b \in \mathbb{R} \}
\]

Per trovare lo spazio generato da $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$, dobbiamo considerare tutte le possibili combinazioni lineari dei due vettori.

Una combinazione lineare di $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ ha la forma:

\[
\mathbf{u} = a\mathbf{v} + b\mathbf{w} = a(1, 2) + b(1, 3) = (a + b, 2a + 3b)
\]

Ad esempio, se $a = 1$ e $b = 0$ viene generato il vettore (1,2)

\[
\mathbf{u} = 1\mathbf{v} + 0\mathbf{w} = 1(1, 2) + 0(1, 3) = (1, 2)
\]

Se invece $a = 0$ e $b = 1$ viene generato il vettore (1,3)

\[
\mathbf{u} = 0\mathbf{v} + 1\mathbf{w} = 0(1, 2) + 1(1, 3) = (1, 3)
\]

Se $a = 1$ e $b = 1$ viene generato il vettore (2,5)

\[
\mathbf{u} = 1\mathbf{v} + 1\mathbf{w} = 1(1, 2) + 1(1, 3) = (1 + 1, 2 + 3) = (2, 5)
\]

Se $a = 2$ e $b = -1$ viene generato il vettore (1,1)

\[
\mathbf{u} = 2\mathbf{v} + (-1)\mathbf{w} = 2(1, 2) + (-1)(1, 3) = (2 - 1, 4 - 3) = (1, 1)
\]

In generale, lo spazio vettoriale generato dai vettori $\mathbf{v} = (1, 2)$ e $\mathbf{w} = (1, 3)$ è tutto il piano $\mathbb{R}^2$, poiché ogni vettore nel piano può essere espresso come una combinazione lineare di $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$.

Graficamente, possiamo rappresentare questi vettori nel piano cartesiano per visualizzare lo spazio generato.

I vettori $\mathbf{v} = (1, 2)$ e $\mathbf{w} = (1, 3)$ non sono paralleli, quindi lo spazio generato da loro è un piano bidimensionale in $\mathbb{R}^2$.

Prova dell'indipendenza lineare

Per provare che $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ generano effettivamente un piano bidimensionale, dobbiamo dimostrare che sono linearmente indipendenti.

Due vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ sono linearmente indipendenti se l'unica soluzione all'equazione $a\mathbf{v} + b\mathbf{w} = \mathbf{0}$ è $a = 0$ e $b = 0$.

Consideriamo l'equazione della combinazione lineare dei due vettori:

\[
a(1, 2) + b(1, 3) = (0, 0)
\]

Questa si traduce in un sistema di equazioni:

\[
\begin{cases}
a + b = 0 \\
2a + 3b = 0
\end{cases}
\]

Risolvendo la prima equazione del sistema otteniamo $b = -a$ .

\[
\begin{cases}
b = -a \\
2a + 3b = 0
\end{cases}
\]

Sostituendo $b = -a$ nella seconda equazione:

\[
\begin{cases}
b = -a \\
2a + 3(-a) = 0
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
b = -a \\
a = 0
\end{cases}
\]

Sostituiamo $a = 0$ nella prima equazione:

\[
\begin{cases}
b = 0 \\
a = 0
\end{cases}
\]

Poiché l'unica soluzione è $a = 0$ e $b = 0$, i vettori $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$ sono linearmente indipendenti.

Questo conferma che i due vettori generano uno spazio vettoriale.