Il prodotto esterno tra due vettori
Il prodotto esterno (outer product) di due vettori è la matrice le cui voci sono tutte prodotti di un elemento nel primo vettore con un elemento nel secondo vettore.
E' anche conosciuto come prodotto diadico o prodotto tensoriale.
Se i due vettori hanno dimensioni n e m, allora il loro prodotto esterno è una matrice n × m.
$$ \vec{a} \otimes \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \cdot b_1 & a_1 \cdot b_2 & ... & a_1 \cdot b_m \\ a_2 \cdot b_1 & a_2 \cdot b_2 & ... & a_2 \cdot b_m \\ \vdots \\ a_n \cdot b_1 & a_n \cdot b_2 & ... & a_n \cdot b_m \end{pmatrix} $$
Quindi, nel prodotto esterno i due vettori possono anche avere un numero di componenti diverse (n≠m). Non necessariamente devono essere uguali (n=m)
Più in generale, dati due tensori (array multidimensionali di numeri), il loro prodotto esterno è un tensore.
Il prodotto esterno si distingue da altre operazioni di algebra lineare come il prodotto scalare e il prodotto di Kronecker. A differenza del prodotto scalare, che combina due vettori per generare uno scalare, il prodotto esterno produce una matrice a partire da due vettori. Inoltre, si differenzia dal prodotto di Kronecker, che crea una matrice a partire da due matrici. Infine, non va confuso con la moltiplicazione standard di matrici, che avviene secondo il metodo righe per colonne.
A cosa serve?
Il prodotto esterno è un concetto fondamentale nell'algebra lineare e trova applicazione in una serie di campi, tra cui la fisica quantistica, l'elaborazione dei segnali e la compressione delle immagini.
Un esempio
Un esempio semplice di prodotto esterno può essere illustrato utilizzando due vettori bidimensionali.
Considera i vettori [1, 2] e [3, 4].
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Il prodotto esterno di questi due vettori è una matrice 2x2, calcolata come segue:
$$ \vec{v} \otimes \vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 & 1 \cdot 4 \\ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 4 \end{pmatrix} $$
Quindi, il prodotto esterno dei vettori [1, 2] e [3, 4] è la matrice [[3, 4], [6, 8]].
$$ \vec{v} \otimes \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} $$
Il risultato finale è una matrice.
In questo caso la matrice ha lo stesso numero di righe e di colonne perché i vettori hanno la stessa dimensione (n=m=2). Tuttavia questa non è una regola. Nel prodotto esterno i vettori possono anche avere dimensioni diverse.
Le proprietà del prodotto esterno
Il prodotto esterno di vettori soddisfa le seguenti proprietà:
- La trasposta del prodotto esterno di due vettori u e v è uguale al prodotto esterno dei vettori v e u scambiati
In altre parole, se si scambiano i vettori nel prodotto esterno e poi si prende la trasposta, si ottiene lo stesso risultato che se si fosse presa la trasposta del prodotto esterno originale. $$ (\vec{u}⊗\vec{v})^T=(\vec{v}⊗\vec{u}) $$ - La proprietà distributiva rispetto all'addizione di vettori
In parole semplici, significa che se si sommano due vettori, v e w, e poi si calcola il prodotto esterno con un terzo vettore, u, il risultato sarà lo stesso se si calcola separatamente il prodotto esterno di v con u e di w con u, e poi si sommano questi due risultati.$$ (\vec{v}+\vec{w})⊗\vec{u}=\vec{v}⊗\vec{u}+\vec{w}⊗\vec{u} $$ $$ \vec{u}⊗(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}⊗\vec{v}+\vec{u}⊗\vec{w} $$ - La linearità rispetto alla moltiplicazione per uno scalare
In particolare, moltiplicare uno scalare per il prodotto esterno di due vettori k(v⊗u) è equivalente a moltiplicare lo scalare per uno dei vettori prima di calcolare il prodotto esterno ossia (kv)⊗u oppure v⊗(ku). In altre parole, la moltiplicazione per uno scalare può essere "portata dentro" l'operazione di prodotto esterno. $$ k(\vec{v}⊗\vec{u})=(k\vec{v})⊗\vec{u}=\vec{v}⊗(k\vec{u}) $$ - La proprietà associativa del prodotto esterno
Quando si esegue il prodotto esterno tra tre vettori u, v e w, l'ordine in cui si eseguono le operazioni non cambia il risultato finale. In altre parole, puoi prima calcolare il prodotto esterno tra u e v e poi tra il risultato e w, oppure prima calcolare il prodotto esterno tra v e w e poi tra u e il risultato, ottenendo lo stesso risultato finale. $$ (\vec{u}⊗\vec{v})⊗\vec{w} = \vec{u}⊗(\vec{v}⊗\vec{w}) $$
La differenza tra prodotto esterno e prodotto vettoriale
Il prodotto esterno (outer product) e il prodotto vettoriale (cross product) non sono la stessa cosa, perché si riferiscono a due operazioni matematiche differenti tra vettori.
- Il prodotto esterno (outer product) è un'operazione che prende due vettori e restituisce una matrice che contiene tutti i possibili prodotti delle componenti dei due vettori. I vettori possono avere qualsiasi dimensione, anche diversa tra loro. L'operazione di "outer product" viene spesso utilizzata per esprimere relazioni tra vettori o per calcolare quantità tensoriali. In quest'ultimo caso è anche detto prodotto tensoriale.
- Il prodotto vettoriale (cross product) è un'operazione specifica per i vettori tridimensionali. Prende due vettori con tre dimensioni (x,y,z) come input e produce un terzo vettore in tre dimensioni che è ortogonale al piano formato dai due vettori presi come input. Il prodotto vettoriale è utilizzato per calcolare la normale di un piano, la forza risultante di due vettori o il momento torcente in un sistema tridimensionale.
Più in generale, in matematica si utilizza il termine "prodotto esterno" per indicare un'operazione binaria che restituisce un risultato che non appartiene allo stesso insieme degli operandi.
Talvolta in algebra lineare si parla di "prodotto esterno" come sinonimo di "prodotto vettoriale", perché il prodotto vettoriale è un'operazione binaria in cui gli operandi sono due vettori del piano e il risultato è un vettore ortogonale che non appartiene allo stesso piano. Quindi, il prodotto vettoriale puoi considerarlo come un caso particolare di prodotto esterno. Tuttavia, in generale i due termini non indicano esattamente la stessa operazione.
Quindi, il prodotto esterno e il prodotto vettoriale sono due operazioni matematiche distinte che coinvolgono i vettori, ma con scopi e risultati differenti.
