Gli autovalori su Matlab
In questa lezione ti spiego come calcolare gli autovalori su Matlab.
Cosa sono gli autovalori? Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica di una matrice quadrata.
Ti faccio un esempio pratico
Crea una matrice quadrata 2x2
>> M = [ 1 2 ; 0 3 ]
M =
1 2
0 3
Per calcolare gli autovalori della matrice digita la funzione eig(M)
>> eig(M)
ans =
1
3
Gli autovalori della matrice quadrata sono 1 e 3.
Verifica. Considera la matrice quadrata M $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ Il polinomio caratteristico PM(λ) della matrice M è il determinante di M-λ·Id $$ P_M(λ) = \det(M-\lambda \cdot Id) $$ dove M è la matrice quadrata in questione, Id è una matrice identità dello stesso ordine e λ è una variabile incognita. $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det [ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} ] $$ $$ P_M(λ) = \det \begin{pmatrix} 1- \lambda & 2 \\ 0 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ P_M(λ) = (1-\lambda) \cdot (3-\lambda)$$ $$ P_M(λ) = 3 - \lambda - 3 \lambda + \lambda^2 $$ $$ P_M(λ) = \lambda^2 - 4 \lambda + 3 $$ L'equazione caratteristica della matrice è il polinomio caratteristico P(x)=0 uguale a zero $$ P_M(λ) = 0 $$ $$ \lambda^2 - 4 \lambda + 3 = 0 $$ Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica che in questo caso è un'equazione di 2° grado. $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ \lambda = \frac{4 \pm 2}{2} = \begin{cases} \lambda_1 = \frac{4-2}{2} = 1 \\ \\ \lambda_2 = \frac{4+2}{2} = 3 \end{cases} $$ Gli autovalori della matrice sono 1 e 3. Il risultato è corretto.
