Il polinomio caratteristico di una matrice su Matlab
In questa lezione ti spiego come si calcola il polinomio caratteristico di una matrice su Matlab.
Cos'è il polinomio caratteristico? E' il determinante della differenza tra una matrice quadrata A e una matrice identità Idn con lo stesso numero di righe e colonne (n) moltiplicata per una variabile lamda (λ). $$ p_A ( \lambda ) = \det(A - \lambda \cdot Id_n ) $$ E' utile per calcolare gli autovalori.
Ti faccio un esempio pratico.
Crea una matrice quadrata 2x2 nella variabile M
>> M=[2 1;0 1]
M =
2 1
0 1
E' una matrice con due righe e due colonne.
$$ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Per calcolare il polinomio caratteristico della matrice M digita la funzione poly(M)
>> poly(M)
ans =
1 -3 2
La funzione restituisce in output una sequenza di numeri 1 , -3 , 2.
Sono i coefficienti della variabile lambda (λ) del polinomio caratteristico con il grado in ordine decrescente
$$ 1 \cdot \lambda^2 - 3 \cdot \lambda^1 + 2 \cdot \lambda^0 $$
Nota. L'ultimo numero della sequenza è il coefficiente della variabile di grado zero (λ0). Il penultimo è il coefficiente della variabile di grado uno (λ1) e via dicendo.
$$ \lambda^2 - 3 \lambda^1 + 2 \cdot 1 $$
$$ \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Hai trovato il polinomio caratteristico della matrice M.
$$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$
Verifica. Svolgi a mano i calcoli per verificare se il risultato è corretto. $$ p_M ( \lambda ) = \det(M - \lambda \cdot Id_n ) $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det [ \ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$ $$ p_M ( \lambda ) = \det \ \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1-\lambda \end{pmatrix} $$ $$ p_M ( \lambda ) = (2-\lambda) \cdot (1-\lambda) - 1 \cdot 0 $$ $$ p_M ( \lambda ) = 2 - 2 \lambda - \lambda + \lambda^2 $$ $$ p_M ( \lambda ) = \lambda^2 - 3 \lambda + 2 $$ E' lo stesso risultato ottenuto dalla funzione poly(M). Il risultato è corretto.
