Gruppi di trasformazione
I gruppi di trasformazione sono strutture matematiche che si concentrano sulle proprietà di simmetria e sulle operazioni che si possono effettuare su un certo insieme.
In particolare, un gruppo di trasformazioni è un insieme di operazioni che possono essere applicate su uno spazio (come il piano cartesiano, lo spazio tridimensionale, ecc.) che conservano alcune proprietà di quello spazio.
Per essere definito un gruppo, l'insieme di trasformazioni deve soddisfare alcune condizioni:
- Chiusura: la combinazione di due trasformazioni nel gruppo deve risultare in un'altra trasformazione che appartiene al gruppo.
- Elemento neutro: deve esistere una trasformazione che non cambia nulla (ad esempio, la trasformazione identità).
- Inverso: per ogni trasformazione nel gruppo, deve esistere un'altra trasformazione che la "annulla" o la riporta alla situazione iniziale.
- Associatività: l'ordine in cui si combinano le trasformazioni non cambia il risultato finale (anche se la sequenza in cui si applicano può importare).
Esempio
Il gruppo delle isometrie del piano è un esempio di gruppo di trasformazioni, perché include operazioni come traslazioni, riflessioni e rotazioni, tutte operazioni che mantengono le distanze tra i punti e gli angoli nel piano.
- Traslazioni: spostano tutti i punti di una quantità fissa nella stessa direzione. Questo non cambia la distanza tra i punti perché lo spostamento è uniforme.
- Riflessioni: ribaltano tutti i punti rispetto a una linea (l'asse di riflessione). Anche se l'orientamento di una figura può cambiare, le distanze tra i punti e gli angoli non vengono alterati.
- Rotazioni: girano tutti i punti attorno a un punto fisso (centro di rotazione) di un certo angolo. Anche in questo caso, sebbene i punti si muovano, le distanze e gli angoli relativi tra di loro restano uguali.
- Identità: non modifica i punti del piano. E' un'operazione neutra e corrisponde all'elemento neutro del gruppo di trasformazione.
Ogni isometria può essere descritta matematicamente con una funzione che mappa i punti del piano in nuovi punti, e queste funzioni hanno alcune caratteristiche chiave:
- Sono biunivoche, il che significa che c'è una corrispondenza uno-a-uno tra i punti originali e quelli trasformati.
- Hanno un inverso, che è anch'esso una isometria; ad esempio, l'inverso di una rotazione in senso orario di un certo angolo è una rotazione in senso antiorario dello stesso angolo.
- Sono associative, quindi applicare una trasformazione seguita da un'altra è lo stesso che applicarle in un ordine diverso. Questo significa che applicare una qualsiasi combinazione di queste operazioni in qualsiasi ordine porterà sempre a un risultato che è anch'esso una isometria, rispettando le proprietà richieste per formare un gruppo.
L'insieme di tutte queste trasformazioni forma un gruppo poiché rispetta tutti gli assiomi di gruppo.
La combinazione di due isometrie (come fare prima una traslazione e poi una rotazione) risulta in un'altra isometria, il che soddisfa la proprietà di chiusura del gruppo. L'identità, dove non viene effettuata alcuna trasformazione, serve come elemento neutro del gruppo, e ogni isometria ha un'operazione inversa che la riporta indietro, il che significa che anche la proprietà dell'inverso è soddisfatta.
