Gruppi ciclici
Un gruppo \(G\) si dice gruppo ciclico se esiste un elemento \(g\) in \(G\) tale che ogni elemento di \(G\) può essere espresso come una potenza di \(g\), ovvero \(G = \langle g \rangle\). Questo significa che per ogni elemento \(h\) in \(G\), esiste un intero \(n\) tale che \(h = g^n\). L'elemento \(g\) è detto generatore del gruppo.
I gruppi ciclici possono essere infiniti o finiti a seconda se hanno un numero finito o infinito di elementi.
Le proprietà dei gruppi finiti
I gruppi ciclici hanno interessanti proprietà:
- Sono completamente determinati dal loro ordine di gruppo (il numero di elementi nel gruppo), nel senso che due gruppi ciclici della stessa ordine sono isomorfi.
- Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico. Vedi esempio.
- Se \(G = \langle g \rangle\) è un gruppo ciclico di ordine finito \(n\), allora per ogni divisore \(d\) di \(n\), esiste esattamente un sottogruppo di \(G\) di ordine \(d\), ed è generato da \(g^{n/d}\). Vedi esempio.
L'importanza dei gruppi ciclici in matematica e nelle sue applicazioni è notevole, trovano impiego nella teoria dei numeri, crittografia, nella teoria dei gruppi e in molte altre aree.
Esempio
Facciamo un esempio concreto di gruppo ciclico finito e uno infinito.
Esempio di gruppo ciclico finito: \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\)
Un esempio di gruppo ciclico finito è \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), il gruppo delle classi di resto modulo \(n\) sotto l'operazione di addizione, dove la classe di resto 1 (o qualsiasi altro elemento coprimo con \(n\)) è un generatore.
Consideriamo il gruppo \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\), che è il gruppo delle classi di resto modulo 5 sotto l'operazione di addizione.
Le classi di resto sono rappresentate dai seguenti elementi: \([0], [1], [2], [3], [4]\).
In questo gruppo, \([1]\) è un generatore, perché:
\(0 \cdot [1] = [0]\)
\(1 \cdot [1] = [1]\)
\(2 \cdot [1] = [2]\)
\(3 \cdot [1] = [3]\)
\(4 \cdot [1] = [4]\)
Quindi, ogni elemento di \(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\) può essere espresso come una potenza di \([1]\), rendendo il gruppo ciclico.
Esempio di gruppo ciclico infinito: \(\mathbb{Z}\)
Un esempio di gruppo ciclico infinito è \(\mathbb{Z}\), il gruppo degli interi \(\mathbb{Z}\) sotto l'operazione di addizione.
In questo caso, \(1\) (o \(-1\)) può servire come un generatore. Usando \(1\) come generatore:
\(0 = 0 \times 1\)
\(1 = 1 \times 1\)
\(-1 = (-1) \times 1\)
\(2 = 2 \times 1\)
\(-2 = (-2) \times 1\)
E così via per ogni intero positivo o negativo. Questo mostra che ogni elemento di \(\mathbb{Z}\) può essere ottenuto sommando \(1\) (o \(-1\)) a se stesso un certo numero di volte, rendendo \(\mathbb{Z}\) un gruppo ciclico infinito.
