La potenza di un elemento in un gruppo
In un gruppo $ (G, *) $, dato un elemento \(g\), la \(n\)-esima potenza di \(g\) è definita come l'operazione * del gruppo ripetuta $ n $ volte sull'elemento $ g $. $$ g^n = \underbrace{ g*g*g \ *...* \ g }_{n \ volte} $$
L'operazione specifica * dipende dal tipo di gruppo che stiamo considerando. Ad esempio, somma in gruppi additivi, moltiplicazione in gruppi moltiplicativi, ecc.
Formalmente, un intero positivo \(n\), \(g^n\) si definisce come:
$$ g^1 = g $$
$$ g^n = g \ \cdot \ ... \ \cdot g \ \ \ \ \forall \ n > 1 $$
Dove "\( \cdot \)" rappresenta l'operazione di gruppo.
Se il gruppo è additivo, potremmo usare \(+\) al posto di \(\cdot\) e parlare di \(ng\) come la somma di \(g\) con se stesso \(n\) volte.
$$ g^1 = g $$
$$ g^n = g \ + \ ... \ + \ g \ \ \ \ \forall \ \ n > 1 $$
Per interi negativi \(n\), se \(g\) ha un inverso \(g^{-1}\), allora \(g^n\) (per \(n < 0\)) è definito come \((g^{-1})^{n}\), il che significa che si utilizza l'inverso di \(g\) moltiplicato per se stesso \(n\) volte.
$$ g^{n} = g^{-1} \ \cdot \ ... \ \cdot g^{-1} \ \ \ \ \forall \ n < 0 $$
Infine, per \(n = 0\), \(g^0\) è definito essere l'elemento neutro del gruppo $ e $, che è l'elemento che, combinato con qualsiasi altro elemento del gruppo tramite l'operazione del gruppo, restituisce quell'elemento.
$$ g^0 = e $$
Per i gruppi moltiplicativi, l'elemento neutro è tipicamente 1, mentre per i gruppi additivi è 0.
Le operazioni tra le potenze
Valgono le stesse operazioni tra le potenze dell'algebra tradizionale.
$$ g^n*g^m = g^{m+n} = \underbrace{g*g* \ ... \ *g}_{m+n} $$
$$ (g^n)^m = g^{m \cdot n} = \underbrace{g*g* \ ... \ *g}_{m \cdot n} $$
Ovviamente l'operazione da ripetere è quella del gruppo.
Il concetto di potenza di un elemento del gruppo è cruciale per studiare le strutture cicliche all'interno dei gruppi e per capire come certi elementi possano generare sottogruppi all'interno di gruppi più grandi. Un gruppo generato da un singolo elemento \(g\) tramite le sue potenze è detto gruppo ciclico, e \(g\) è chiamato un generatore del gruppo.
Esempio
Consideriamo il gruppo \((\mathbb{Z}, +)\), dove \(\mathbb{Z}\) è l'insieme di tutti gli interi e \(+\) indica l'operazione di somma.
Questo è un esempio di gruppo additivo, quindi quando parliamo di "potenze" in questo contesto, ci riferiamo in realtà a somme ripetute di un elemento.
L'elemento neutro in questo gruppo è \(0\), poiché la somma di qualsiasi numero intero con \(0\) dà quel numero intero.
Esempio di potenze positive:
Prendiamo l'elemento \(3\) in \(\mathbb{Z}\).
La \(4\)-esima potenza di \(3\), denotata come \(3^4\) nella notazione moltiplicativa, è in realtà calcolata come la somma ripetuta di \(3\) con se stesso \(4\) volte nel contesto additivo. Quindi, avremo:
$$ 3 + 3 + 3 + 3 = 12 $$
In notazione additiva, possiamo pensare a questo come \(4 \times 3 = 12\).
Esempio di potenze con esponente negativo:
Consideriamo ora l'elemento \( 4 \) e vogliamo trovare la potenza $ 4^{-3} $ nel gruppo $ (Z,+) $.
L'inverso additivo di 4 è −4, quindi:
$$ (-4)^{-3} = (-4) + (-4) + (-4) = -12 $$
In questo caso $ 4^{-3} $ nel gruppo $ (Z,+) $ equivale a sommare tre volte l'elemento inverso di 4, ovvero -4×3.
Esempio per \(n = 0\):
Per qualsiasi elemento di \(\mathbb{Z}\), la "0-esima potenza" corrisponde semplicemente all'elemento neutro del gruppo, che è \(0\).
Quindi, indipendentemente dall'elemento scelto, \(g^0 = 0\) in questo contesto additivo.
Ad esempio, $ 4^0 $ nel gruppo additivo $ (Z,+) $. è zero.
$$ 4^0 = 0 $$
Dove 0 è l'elemento neutro del gruppo additivo.
Viceversa, $ 4^0 $ nel gruppo moltiplicativo $ (Z, \cdot) $. è uno.
$$ 4^0 = 1 $$
Dove 1 è l'elemento neutro del gruppo moltiplicativo.
Esempio di operazioni tra potenze:
Nel gruppo additivo $ ( Z, + ) $ l'espressione $ 2^3 × 2^2 $ equivalgono alla potenza $ 2^{3+2} = 2^5 $
$$ 2^3 × 2^2 = 2^5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 $$
L'espressione $ ( 2^3 )^2 $ equivale, invece, alla potenza $ 2^{3 \cdot 2} = 2^6 $
$$ (2^3)^2 = 2^6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 $$
Anche in questo caso l'operazione da ripetere è quella del gruppo e in un gruppo additivo è l'addizione.
Gruppo ciclico generato da un elemento:
Se consideriamo l'elemento \(1\) in \(\mathbb{Z}\), possiamo vedere che sommando ripetutamente questo elemento possiamo generare tutto il gruppo \(\mathbb{Z}\). Per esempio:
\(1^1 = 1\)
\(1^2 = 1 + 1 = 2\)
\(1^3 = 1 + 1 + 1 = 3\)
E così via. Analogamente, utilizzando l'inverso di \(1\), che è \(-1\), possiamo generare tutti gli interi negativi.
Quindi, \(1\) (e \(-1\)) è un generatore del gruppo \(\mathbb{Z}\) sotto l'operazione di somma, rendendo \(\mathbb{Z}\) un esempio di gruppo ciclico infinito.
