L'ordine di un gruppo finito

L'ordine di un gruppo finito è il numero totale di elementi (o cardinalità) del gruppo. Se un gruppo \( G \) è finito, possiamo dire che l'ordine di \( G \), indicato con \( |G| \), è un intero positivo che rappresenta quanti elementi ci sono nel gruppo.

Per esempio, se abbiamo un gruppo \( G \) che consiste degli elementi \(\{e, a, b, c\}\), dove \( e \) è l'elemento neutro, l'ordine di \( G \) è 4, poiché ci sono quattro elementi distinti nel gruppo.

L'ordine di un elemento in un gruppo finito, d'altra parte, è il più piccolo intero positivo \( n \) tale che \( g^n = e \), dove \( g \) è un elemento del gruppo e \( e \) è l'elemento neutro del gruppo.

Se un tale \( n \) non esiste, allora l'elemento si dice avere ordine infinito.

In un gruppo finito, tuttavia, ogni elemento ha un ordine che è un divisore dell'ordine del gruppo, secondo il teorema di Lagrange. Questo significa che in un gruppo finito, tutti gli elementi hanno ordine finito.