Gruppo speciale lineare reale

Il gruppo speciale lineare reale, indicato come $ SL(n, \mathbb{R}) $, è l'insieme di tutte le matrici quadrate $ n \times n $ con coefficienti reali il cui determinante è esattamente uguale a 1. In termini matematici, si può scrivere: $$ SL(n, \mathbb{R}) = \{ A \in M_n(\mathbb{R}) : \det(A) = 1 $$

Le matrici in $ SL(n, \mathbb{R}) $ rappresentano trasformazioni lineari dello spazio $ \mathbb{R}^n $ che sono volumetricamente "preservanti", nel senso che la trasformazione non altera il volume nello spazio.

Il prefisso "speciale" nel nome indica proprio questa proprietà di preservazione del volume (determinante uguale a 1).

Per esempio, rotazioni e riflessioni sono entrambe trasformazioni che preservano il volume, e le loro matrici corrispondenti avrebbero un determinante di 1 se non cambiano l'orientazione dello spazio, o -1 se lo fanno.

Questo gruppo è una sottoclasse del gruppo generale lineare reale $ GL(n, \mathbb{R}) $, che include tutte le matrici invertibili, ma in $ SL(n, \mathbb{R}) $ ci si limita alle sole matrici che hanno anche questa proprietà speciale sul determinante.

Esempio

Per darti un esempio concreto di una matrice che appartiene al gruppo speciale lineare reale $ SL(n, \mathbb{R}) $, consideriamo il caso di $ SL(2, \mathbb{R}) $, cioè il gruppo delle matrici $ 2 \times 2 $ con coefficienti reali e determinante esattamente uguale a 1.

Un esempio di una matrice in $ SL(2, \mathbb{R}) $ potrebbe essere la matrice identità:

$$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Il determinante della matrice $ I $ è uguale a 1.

$$ \det(I) = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1 $$

Ogni matrice identità di qualsiasi dimensione appartiene al corrispondente gruppo speciale lineare perché il determinante è sempre 1 e rappresenta la trasformazione che lascia invariato ogni vettore dello spazio.

Un altro esempio di matrice in $ SL(2, \mathbb{R}) $ con un determinante non banale di 1 potrebbe essere una matrice di rotazione, come quella che rappresenta una rotazione di 90 gradi:

$$ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Il determinante di $ R $ è:

$$ \det(R) = 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 = 1 $$

Questa matrice di rotazione appartiene a $ SL(2, \mathbb{R}) $ poiché il suo determinante è esattamente 1, e geometricamente rappresenta una rotazione di 90 gradi in senso antiorario del piano $ \mathbb{R}^2 $.