Il gruppo simplettico reale

Il gruppo simplettico $ Sp(2n, R) $ è definito come l'insieme di tutte le matrici `A` di dimensione 2n x 2n con valori reali, tali che A trasposta moltiplicata per J e poi moltiplicata per A dia come risultato la matrice J. $$ Sp(2n, R) = \{ A \in M_{2n}(R) \ : \ A^TJA = J \} $$

Il gruppo simplettico $ Sp(2n,\mathbb{R}) $ comprende matrici quadrate di dimensione $ 2n \times 2n $ con coefficienti reali.

Queste matrici, indicate con $ A $, mantengono inalterata una specifica struttura geometrica, espressa dalla condizione $ A^T J A = J $, dove $ J $ è una matrice antisimmetrica prefissata e $ A^T $ rappresenta la trasposta di $ A $.

La proprietà $ A^T J A = J $ assicura che le trasformazioni rappresentate da $ A $ preservano determinate relazioni geometriche e fisiche, fondamentali in ambiti come la meccanica classica e quantistica.

La matrice `J` qui è una matrice di blocchi, dove la parte superiore destra è una matrice identità di dimensione `n` e la parte inferiore sinistra è l'opposto di una matrice identità di dimensione `n`. Gli altri blocchi, cioè la parte superiore sinistra e la parte inferiore destra, sono riempiti con zeri. $$ J = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{pmatrix} $$

Questo gruppo di matrici ha la proprietà di preservare una forma bilineare associata alla matrice J, il che significa che trasformazioni simplettiche mantengono inalterato il prodotto scalare definito da J.

Questa proprietà è fondamentale per esempio nella meccanica hamiltoniana, dove le trasformazioni che preservano le equazioni del moto sono proprio trasformazioni simplettiche.

Esempio

Un esempio semplice di una matrice che appartiene al gruppo simplettico $ Sp(2n, \mathbb{R}) $ può essere costruito per $ n = 1 $, dove la matrice simplettica è di dimensione $ 2 \times 2 $.

Ricordiamo che per $ n = 1 $, la matrice $ J $ è data da:

$$ J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Una matrice $ A $ appartenente a $ Sp(2, \mathbb{R}) $ deve soddisfare la condizione $ A^T J A = J $.

Un semplice esempio di tale matrice $ A $ è una matrice di rotazione:

$$ A = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$

Dove $ \theta $ è un qualsiasi angolo reale.

Verifichiamo che $ A $ appartiene a $ Sp(2, \mathbb{R}) $ moltiplicando $ A^T J A $ e mostrando che il risultato è uguale a $ J $:

$$ A^T = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} $$

$$ A^T J = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ -\cos(\theta) & -\sin(\theta) \end{pmatrix} $$

$$ A^T J A = \begin{pmatrix} -\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ -\cos(\theta) & -\sin(\theta) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = J $$

Quindi, per ogni angolo $ \theta $, la matrice di rotazione $ A $ è un elemento del gruppo simplettico $ Sp(2, \mathbb{R}) $.

Esempio 2

Questo è un esempio concreto di una matrice simplettica per $ n=2 $.

\[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\]

In questo caso la matrice J da considerare è la seguente:

\[
J = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]

Questa matrice J è composta da due blocchi $ 2 \times 2 $: il blocco superiore destro è una matrice identità $ I_2 $, e il blocco inferiore sinistro è l'opposto di una matrice identità $ -I_2 $. I blocchi diagonali principali sono zeri.

La $ A $ soddisfa la proprietà simplettica che $ A^T J A = J $, dove $ J $ è la matrice standard simplettica per $ n=2 $:

$$
A^T = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$
A^T J = \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$ A^TJA = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 0
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$ A^T J A = J $$

Il calcolo conferma che $ A $ è effettivamente una matrice simplettica.