Sottogruppo ciclico generato da un elemento

Un sottogruppo ciclico è un tipo speciale di sottogruppo che può essere generato da un singolo elemento $ g $. In simboli, si indica con $\langle g \rangle$. $$ \langle g \rangle\ = \{ g^i \ , \ i \in Z \} $$

Questo significa che tutti gli elementi del sottogruppo possono essere ottenuti applicando ripetutamente l'operazione del gruppo a questo elemento generatore.

Ogni elemento del sottogruppo può essere espresso come una potenza, o multiplo, nel caso additivo, del generatore.

$$ \langle g \rangle\ = \{ ... g^{-2}, g^{-1}, g^0, g^1, g^2, ....\} $$

In un gruppo additivo come quello dei numeri interi con l'addizione $ (Z,+) $, se scegli un elemento $g$, il sottogruppo ciclico generato da $g$ include i multipli di g: $g$, $2g$, $3g$, e così via, nonché $0$, $-g$, $-2g$, $-3g$, eccetera.

Ad esempio, nel gruppo additivo $ (Z,+) $ se l'elemento è g=2 il sottogruppo ciclico generato dall'elemento comprende tutti i multipli di 2 (es. 2, 4, 6, ecc.), l'elemento neutro dell'addizione (0) e gli inversi, ossia i numeri opposti di 2 rispetto all'addizione (es, -2, -4, -6, ecc.). $$ <2> = \{ ... -8, -6, -4 , -2, 0, 2, 4, 6, 8,... \} $$

In un contesto moltiplicativo, invece, come un gruppo di numeri razionali la moltiplicazione $ (Q, \cdot ) $, il sottogruppo ciclico generato da un elemento $g$ è composto dalle potenze $g$, $g^2$, $g^3$, dall'elemento neutro e dagli elementi inversi $ g^{-1} $, $ g^{-2} $ ...

Ad esempio, nel gruppo moltiplicativo $ (Q,\cdot) $ se l'elemento è g=2 il sottogruppo ciclico generato dall'elemento comprende tutti le potenze di 2 (es. 2¹, 2², 2³, ecc.), l'elemento neutro della moltiplicazione (1) e gli inversi rispetto alla moltiplicazione, ossia i reciproci di 2 (es. 2^-1=1/2, 2^-2=1/2², ecc. ) $$ <2> = \{ ... \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2} , 1, 2, 4, 8, 16, ... \} $$

I sottogruppi ciclici sono strutturalmente semplici, nel senso che la loro organizzazione è completamente determinata dal loro generatore.

Giocano un ruolo cruciale nell'analisi della struttura di gruppi più complessi, servendo spesso come "mattoni" fondamentali nella costruzione o decomposizione di gruppi.

Sottogruppi ciclici finiti e infiniti

Un sottogruppo ciclico non deve necessariamente essere finito. Può essere sia finito che infinito, a seconda del gruppo di partenza e dell'elemento generatore.

Sottogruppo ciclico finito: Se il gruppo di partenza è finito o se l'elemento generatore ha ordine finito, ovvero esiste un numero intero positivo n tale che n volte l'elemento generatore è l'elemento neutro del gruppo, allora il sottogruppo ciclico generato sarà finito. Ad esempio, nel gruppo degli interi modulo n sotto l'addizione, Z_n, ogni sottogruppo ciclico è finito.
Sottogruppo ciclico infinito: Se il gruppo di partenza è infinito e l'elemento generatore non ha un ordine finito, cioè non esiste un numero intero positivo n tale che n volte l'elemento generatore dà l'elemento neutro, allora il sottogruppo ciclico che ne risulta è infinito. L'esempio che abbiamo fatto prima, ⟨2⟩ nel gruppo (Z,+), è un sottogruppo ciclico infinito perché contiene un numero infinito di multipli di 2, sia positivi che negativi.

Ogni gruppo contiene almeno un sottogruppo ciclico, poiché l'elemento neutro da solo forma il più semplice sottogruppo ciclico possibile.

$$ \langle e \rangle\ = \{ ... e^{-2}, e^{-1}, e^0, e^1, e^2, ....\} = \{ e \} $$

Esempio

Facciamo un esempio nel gruppo dei numeri interi $(\mathbb{Z}, +)$, dove l'operazione è l'addizione.

Consideriamo il numero 3 come elemento generatore.

Il sottogruppo ciclico generato da 3, indicato con $\langle 3 \rangle$, include tutti i multipli interi di 3. Quindi, gli elementi di $\langle 3 \rangle$ sono:

$$ <3> = \{ \ldots, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \ldots \} $$

Questo insieme contiene 0, l'elemento neutro dell'addizione, ogni positivo multiplo di 3 e ogni negativo multiplo di 3.

Se sommiamo o sottraiamo due qualsiasi di questi numeri, il risultato sarà ancora un multiplo di 3, dimostrando che $\langle 3 \rangle$ è effettivamente un sottogruppo di $\mathbb{Z}$.

$$ <3> \ < \ (\mathbb{Z}, \cdot) $$

Questo sottogruppo è ciclico perché ogni suo elemento può essere ottenuto aggiungendo o sottraendo ripetutamente il numero 3 a se stesso.

Il concetto di sottogruppo ciclico come questo evidenzia come, partendo da un singolo elemento, possiamo costruire un insieme che soddisfa tutte le proprietà di un gruppo.

Esempio 2

Nel gruppo $ ( \mathbb{Z}_6 , + ) $, l'insieme dei numeri interi modulo 6 sotto l'operazione di addizione, ogni elemento può generare un sottogruppo ciclico.

Gli elementi di $ \mathbb{Z}_6 $ sono $ \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} $.

Facciamo un esempio con l'elemento 2. Consideriamo il sottogruppo ciclico generato da 2, che indichiamo con $ \langle 2 \rangle $ in $\mathbb{Z}_6$.

Calcoliamo tutti i multipli di 2 modulo 6:

$0 \cdot 2 = 0 \mod 6 = 0$
$1 \cdot 2 = 2 \mod 6 = 2$
$2 \cdot 2 = 4 \mod 6 = 4$
$3 \cdot 2 = 6 \mod 6 = 0$
$4 \cdot 2 = 8 \mod 6 = 2$
$5 \cdot 2 = 10 \mod 6 = 4$

Da qui vediamo che i multipli di 2 iniziano a ripetersi dopo $3 \cdot 2$.

Quindi, il sottogruppo ciclico generato da 2 è un sottogruppo finito che contiene tre elementi.

$$ \langle 2 \rangle = \{0, 2, 4\} $$

È un esempio di come un elemento in un gruppo finito modulo $n$ possa generare un sottogruppo ciclico che non include necessariamente tutti gli elementi del gruppo originale.

La scelta dell'elemento generatore determina la dimensione e i membri del sottogruppo ciclico.