Gruppo ortogonale reale
Il gruppo ortogonale reale \( O(n, \mathbb{R}) \) è l'insieme di tutte le matrici quadrate \( n \times n \) ortogonali. $$ O(n, \mathbb{R} = \{ A \in M_n(R) \ : \ AA^T = A^TA = I \} $$ Una matrice \( A \) è detta ortogonale se il prodotto della matrice per la sua trasposta è la matrice identità \( I \), cioè \( A^T A = A A^T = I \).
Le proprietà di una matrice ortogonale includono il fatto che le sue colonne (e le sue righe) formano un insieme ortonormale. Ciò significa che i vettori costituenti sono tutti perpendicolari (ortogonali) l'uno all'altro e hanno lunghezza unitaria (normale).
In termini geometrici, questo significa che la matrice rappresenta una trasformazione del piano o dello spazio che preserva le distanze e gli angoli, come per esempio le rotazioni o le riflessioni.
Nello specifico, il gruppo ortogonale reale ha due componenti connesse: il gruppo ortogonale speciale, \( SO(n, \mathbb{R}) \), che consiste di matrici ortogonali con determinante +1 e rappresenta rotazioni, e la componente che consiste di matrici con determinante -1 che rappresenta riflessioni.
Quando diciamo che il gruppo ortogonale "lascia fissa l'origine", ci riferiamo al fatto che queste trasformazioni non alterano la posizione dell'origine del sistema di coordinate; piuttosto, trasformano gli altri punti in maniera che le distanze e gli angoli rispetto all'origine rimangano invariati. In fisica e in ingegneria, questi movimenti sono noti come movimenti rigidi, e il gruppo ortogonale può essere visto come il gruppo dei movimenti rigidi di \( \mathbb{R}^n \) che lasciano fissa l'origine.
Esempio
Ecco un esempio di una matrice ortogonale reale \( 2 \times 2 \). Consideriamo una matrice di rotazione di 45 gradi (o \( \frac{\pi}{4} \) radianti):
$$ A = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} $$
Per confermare che questa matrice è ortogonale, svolgiamo la moltiplicazione tra le due matrici.
Il prodotto di queste due matrici si ottiene moltiplicando ciascuna riga di A per ciascuna colonna di AT, sommando i prodotti degli elementi corrispondenti. Ecco i passaggi:
$$ A^T A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} $$
$$ A^T A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot ( -\frac{\sqrt{2}}{2} ) & \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} -\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot ( \frac{\sqrt{2}}{2} ) \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) & \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} $$
$$ A^T A = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \end{bmatrix} $$
$$ A^T A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$
$$ A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$
Questo conferma che la matrice \( A \) è ortogonale. In termini geometrici, questa matrice rappresenta una rotazione del piano intorno all'origine di 45 gradi in senso antiorario, senza alterare la distanza dall'origine.
