L'elemento inverso in un gruppo

Per ogni elemento $a \in G $ in un gruppo $ (G,*) $, l'elemento inverso $a^{-1}$ è quell'elemento che, quando è combinato con $a$ tramite l'operazione $ * $ del gruppo, produce l'elemento neutro $e$ del gruppo. In altre parole: $$ a * a^{-1} = a^{-1} * a = e $$ Dove $ * $ rappresenta l'operazione binaria del gruppo.

Questa definizione implica che ogni elemento del gruppo deve avere un unico elemento inverso all'interno del gruppo stesso.

L'elemento inverso è dunque cruciale per la struttura del gruppo perché assicura che per ogni elemento esista un "modo di annullarlo", riportando l'operazione al suo elemento neutro.

L'esistenza e l'unicità degli inversi sono proprietà fondamentali che distinguono i gruppi da altre strutture algebriche.

Ricordiamo cos'è un gruppo. Un gruppo è definito come un insieme $G$ dotato di un'operazione binaria che associa a ogni coppia di elementi di $G$ un altro elemento di $G$, in modo che siano soddisfatte quattro proprietà: chiusura, associatività, esistenza dell'elemento neutro, e esistenza dell'elemento inverso.

Ecco qualche esempio pratico.

Esempio

Facciamo un esempio pratico con il gruppo $ ( \mathbb{Z} , + ) $ degli interi relativi $\mathbb{Z}$ sotto l'operazione di addizione $ + $.

In questo gruppo $ ( \mathbb{Z} , + ) $ l'elemento neutro è $0$ poiché l'addizione di $0$ a qualsiasi intero restituisce quell'intero stesso.

Quindi, per ogni numero intero $a$, l'elemento inverso $a^{-1}$ è semplicemente il numero opposto $-a$, perché $a + (-a) = 0$.

Ecco alcuni esempi concreti. Considera il numero intero $a = 5$. L'inverso di $5$ è $-5$, poiché $5 + (-5) = 0$. Se invece prendi il numero intero $a = -3$, l'inverso è $3$, dato che $(-3) + 3 = 0$. In entrambi i casi, l'addizione dell'elemento con il suo inverso produce l'elemento neutro del gruppo, che è $0$.

In questo caso l'elemento opposto $ a^{-1} $ permette di "annullare" un elemento $ a $, riportando il risultato all'elemento neutro $ 0 $ attraverso l'operazione del gruppo.

Esempio 2

Vediamo un altro esempio pratico utilizzando il gruppo delle matrici invertibili di dimensione $2 \times 2$ con l'operazione di moltiplicazione.

Ricorda che una matrice è invertibile (o non singolare) se esiste un'altra matrice che, moltiplicata per la prima, dà come risultato la matrice identità. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante non è nullo. Quindi, non tutte le matrici $2 \times 2$ sono invertibili.

In questo caso la matrice identità $I_2$ è l'elemento neutro del gruppo.

$$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Consideriamo la matrice $A$ come esempio pratico di matrice $2 \times 2$:

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} $$

Dobbiamo trovare una matrice $A^{-1}$ tale che:

$$ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_2 $$

La formula per trovare l'inverso di una matrice $2 \times 2$, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, è la seguente:

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \cdot \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Quindi, per la nostra matrice $A$, calcoliamo il determinante $ \Delta = (ad-bc)$

$$ \Delta \ A = 2 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 6 - 5 = 1 $$

Essendo il determinante diverso da zero, la matrice $A$ è invertibile, e la matrice inversa è il suo elemento inverso:

$$ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

Verifichiamo che $A \cdot A^{-1} = I_2$:

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 2\cdot3 + 5\cdot(-1) & 2\cdot(-5) + 5\cdot2 \\ 1\cdot3 + 3\cdot(-1) & 1\cdot(-5) + 3\cdot2 \end{pmatrix} $$

$$ A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 $$

Questo mostra che $A^{-1}$ è effettivamente l'inverso di $A$, poiché il loro prodotto restituisce la matrice identità $I_2$, confermando che $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_2$.