Sottogruppo generato da un insieme

Considera un gruppo \( (G,*) \) e un sottoinsieme non vuoto \( X \subseteq G \). Il sottogruppo generato dall'insieme \( X \), denotato come \( \langle X \rangle \), è l'insieme di tutti gli elementi che possono essere ottenuti combinando gli elementi \( x \in X \) tramite l'operazione * del gruppo \( G \).

Il sottogruppo generato dall'insieme X è un sottoinsieme del gruppo (G,*) ed è composto da tutti gli elementi che si possono ottenere moltiplicando insieme gli elementi di X e i loro inversi in qualsiasi ordine.

$$ < X > = \{ u_1 * u_2 * ... * u_m \  |  \ u_i \in X \ o \ u_i^{-1} \in X \ , \ i,m \in N  \} $$

Questa moltiplicazione non è una moltiplicazione numerica comune, ma l'operazione * definita nel gruppo G.

Ad esempio, consideriamo un gruppo \( (G, *) \) e l'insieme \( X = \{a, b\} \) che consiste di due elementi di \( G \). Il sottogruppo generato da \( X \), indicato come \( \langle X \rangle \), comprende tutte le possibili combinazioni finite di \( a \), \( b \), e i loro inversi \( a^{-1} \), \( b^{-1} \) tramite l'operazione \( * \) del gruppo. $$  \langle X \rangle = \{ ab, ba, ab^{-1}, aba^{-1}, aba^{-1}b^{-1} ... \}$$ Vale la pena ricordare che se l'operazione \( * \) viene applicata tra un elemento e il suo inverso (ad esempio, \( a*a^{-1} \) o \( b*b^{-1} \)), questi si annullano reciprocamente perché il risultato è l'elemento neutro \( e \ del gruppo. $$ aa^{-1} = a^{-1}a=bb^{-1}= b^{-1}b=e $$ Per fare un esempio, la sequenza $ abb^{-1}a $ equivale a $ aa$ perché i due termini $ bb^{-1} $ si annullano.

In qualsiasi sottogruppo generato da un insieme $ X $ è sempre presente l'elemento neutro del gruppo \( G \) perché qualsiasi elemento $ x \in X $ elevato a zero è uguale all'elemento neutro $ e $ del gruppo.

$$ \forall \ x \in X \ , \  x^0 = e $$

Gli elementi inclusi nel sottogruppo generato dall'insieme dipendono, ovviamente, dall'operazione * del gruppo.

Ad esempio, se \( G \) è un gruppo additivo, allora \( \langle X \rangle \) includerà tutte le somme finite degli elementi di \( X \) e dei loro opposti. Se invece \( G \) è un gruppo moltiplicativo, allora \( \langle X \rangle \) includerà tutti i prodotti finiti degli elementi di \( X \) e dei loro inversi.

Il sottogruppo generato \( \langle X \rangle \) è il più piccolo sottogruppo di \( G \) che contiene ogni elemento di \( X \), nel senso che non esiste un altro sottogruppo di \( G \) che contiene \( X \) ed è più piccolo di \( \langle X \rangle \). Questo accade perché il sottogruppo generato \( \langle X \rangle \) è l'intersezione di tutti i sottogruppi S di $ G $  che contengono $ X $.

$$ < X >  =    \underset{X \subseteq S \le G}{ \cap } S   $$

Se l'insieme $ X $ è composto da un solo elemento $ x \in X $, allora il sottogruppo generato dall'elemento $ x $ è detto sottogruppo ciclico.

Un esempio

Facciamo un esempio con numeri interi sotto l'operazione di addizione, che formano un gruppo additivo noto come \((\mathbb{Z}, +)\).

Prendiamo il sottoinsieme \( X = \{6\} \) di \(\mathbb{Z}\).

Per trovare il sottogruppo generato da \( X \), dobbiamo considerare tutte le combinazioni possibili degli elementi di \( X \) e le loro inverse sotto l'operazione di addizione.

Essendo un solo elemento bisogna considerare tutte le potenze dell'elemento con esponente positivo, nullo o negativo.

$ \vdots \\ x^{-2} = (-x)+(-x) \\ x^{-1} = -x \\ x^0 = e \\ x^1 = x \\ x^2 = x+x \\ x^3=x+x+x \\ \vdots $ 

In questo caso, il sottogruppo generato da \( X \), indicato come \( \langle X \rangle \) o \( \langle 6 \rangle \), è l'insieme di tutti i multipli interi di 6, perché aggiungendo o sottraendo 6 ripetutamente otteniamo ogni elemento del sottogruppo.

Quindi, matematicamente, il sottogruppo è:

\[ \langle 6 \rangle = \{ ... , -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, ... \} \]

Ogni numero in questo insieme è un multiplo di 6, e se sommi o sottrai qualsiasi coppia di numeri in questo insieme, il risultato è ancora un multiplo di 6, quindi l'insieme è chiuso sotto addizione.

Inoltre, contiene lo 0, che è l'elemento neutro dell'addizione, e per ogni elemento ha anche il suo inverso (per esempio, l'inverso di 6 è -6).

$$ x + x^{-1} = 6 + (-6) = 0 $$

Quindi, \( \langle 6 \rangle \) è effettivamente un sottogruppo di \((\mathbb{Z}, +)\).

Questo sottogruppo è anche ciclico, perché è generato ripetendo l'operazione del gruppo (l'addizione) su un singolo elemento, $x = 6 $ in questo caso. 

Esempio 2

Consideriamo ancora il gruppo additivo $ ( Z,+) $ dei numeri interi rispetto all'addizione.

Questa volta prendiamo un sottoinsieme \( X = \{6, 7\} \) composto da due elementi.

In questo caso il sottogruppo generato da \( X \), indicato con \( \langle X \rangle \) o \( \langle 6, 7 \rangle \), includerà tutte le possibili somme intere di 6 e 7, incluse le loro somme negative e la combinazione di queste.

$$  \langle X \rangle = \{ 6 \cdot a +  7 \cdot b \ \ \ a ,b \in Z \}$$

Dove $ a $ e $ b $ sono due numeri interi qualsiasi della combinazione lineare.

Poiché 6 e 7 sono numeri interi consecutivi e quindi coprimi, non hanno divisori comuni tranne 1, ogni numero intero può essere espresso come una combinazione lineare di 6 e 7.

In termini matematici, per ogni intero \( n \), esistono interi \( a \) e \( b \) tali che \( n = 6a + 7b \).

$$ \forall \ n \in Z \ , \ n = 6 \cdot a +  7 \cdot b $$

Quindi, il sottogruppo generato da \( \{6, 7\} \) è in realtà l'intero gruppo \( \mathbb{Z} \) stesso.

$$  \langle 6,7 \rangle =  \mathbb{Z} $$

Esempio 3

Usiamo il gruppo \((\mathbb{Z}, +)\), l'insieme dei numeri interi con l'operazione di addizione, e prendiamo l'insieme \( X = \{2, 4\} \).

Per trovare il sottogruppo generato da \( X \), indicato come \( \langle X \rangle \) o \( \langle 2, 4 \rangle \), dobbiamo considerare tutte le possibili somme intere di 2 e 4.

Tuttavia, possiamo immediatamente notare che 4 è un multiplo di 2 (cioè, \( 4 = 2 \cdot 2 \)), quindi ogni numero che può essere ottenuto sommando 4 può anche essere ottenuto sommando 2.

Pertanto, il sottogruppo generato da \( X \) sarà lo stesso sottogruppo che sarebbe generato solo dal più piccolo dei numeri in \( X \), che è 2.

Questo sottogruppo è l'insieme di tutti i multipli interi di 2:

$$ \langle 2, 4 \rangle = \langle 2 \rangle = \{ ... , -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, ... \} $$

In sintesi

$$ \langle 2, 4 \rangle = \langle 2 \rangle = 2 \mathbb{Z}  $$

Questo sottogruppo è ciclico perché può essere generato completamente da un singolo elemento, il numero 2, sommandolo a se stesso un numero qualsiasi di volte (positivo, negativo o zero).

In generale, quando un sottogruppo può essere generato da un singolo elemento, quel sottogruppo è detto ciclico.