L'elemento neutro in un gruppo

In un gruppo (G,∗), esiste un elemento speciale detto "elemento neutro" che ha una caratteristica unica: quando lo usi in un'operazione con qualsiasi altro elemento del gruppo, l'altro elemento rimane invariato.

Ad esempio, se stiamo parlando di moltiplicare numeri, l'elemento neutro è l'1. Moltiplicare qualcosa per 1 non cambia quel qualcosa.

Se invece stiamo sommando, l'elemento neutro diventa lo 0. Aggiungere 0 a qualsiasi numero lo lascia esattamente com'è.

Un esempio

Per fare un esempio pratico, immagina di avere tutti i numeri interi (insieme Z) e l'operazione che stiamo facendo è l'addizione (+).

In questo gruppo (Z,+), lo 0 è il nostro elemento neutro.

Se aggiungi 0 a qualsiasi numero, quel numero non cambia. Se hai 1, rimane 1; se hai -2, resta -2.

$$ 1 + 0 = 1 $$

$$ -2 + 0 = -2 $$

Lo stesso vale per qualsiasi altro numero.

In ogni gruppo c'è un solo elemento neutro

Non è una cosa da poco, perché significa che ogni volta che trovi un elemento che agisce in questo modo speciale, puoi essere sicuro che sia l'unico che lo fa in quel contesto.