Il centro di un gruppo

Il centro di un gruppo in matematica è un sottoinsieme di $G$ che contiene tutti gli elementi che commutano con ogni altro elemento del gruppo. In genere, il centro di un gruppo è indicato di solito con $Z(G)$ per un gruppo $G$

In altre parole, il centro è l'insieme di tutti gli elementi $z$ in $G$ tali che $zg = gz$ per ogni $g$ in $G$.

$$ Z(G) = \{z \in G | zg = gz \quad \forall g \in G\} $$

Questo significa che per ogni elemento $z$ nel centro e per ogni elemento $g$ nel gruppo, il prodotto di $z$ e $g$ è lo stesso indipendentemente dall'ordine in cui vengono moltiplicati.

Il centro di un gruppo è sempre un sottogruppo di quel gruppo, ed è anche un sottogruppo abeliano, dato che per definizione i suoi elementi commutano tra loro.

Il centro rivela informazioni sulla struttura interna del gruppo, fornendo un'idea di quanto il gruppo sia "lontano" dall'essere abeliano. Se il centro di un gruppo è il gruppo stesso, allora il gruppo è abeliano.

Esempio
Il centro di un gruppo è sempre un sottogruppo

Esempio

Consideriamo un esempio intuitivo del centro di un gruppo: il gruppo delle rotazioni nel piano.

Immaginiamo di avere un insieme di tutte le possibili rotazioni attorno all'origine in un piano bidimensionale.

Ogni rotazione può essere descritta da un angolo $ \theta $, che rappresenta di quanto l'oggetto viene ruotato intorno all'origine.

Ad esempio $ \theta = 0° $, $ \theta = 10° $, $ \theta = 20° $, ecc.

In questo contesto, il "centro" del gruppo è l'insieme di tutte le rotazioni che commutano con ogni altra rotazione. In altre parole, stiamo cercando rotazioni che, quando applicate prima o dopo un'altra rotazione qualsiasi, danno lo stesso risultato.

Se ci pensiamo bene, l'unica rotazione che soddisfa questa proprietà è la rotazione di $0$ gradi, cioè la rotazione che non cambia nulla.

Questo perché una rotazione di $0$ gradi seguita da qualsiasi altra rotazione $ \theta $ lascia l'angolo $ \theta $ inalterato, e allo stesso modo, applicare una rotazione di $ \theta $ e poi una di $0$ gradi non cambia l'effetto della prima rotazione.

Esempio 2

Facciamo un esempio con il gruppo delle matrici $2 \times 2$ invertibili con elementi in $\mathbb{R}$ (i numeri reali) sotto l'operazione di moltiplicazione delle matrici.

Troviamo il centro di questo gruppo. Il centro $Z(GL(2, \mathbb{R}))$ è l'insieme di tutte le matrici $A$ in $GL(2, \mathbb{R})$ tali che $AB = BA$ per ogni $B$ in $GL(2, \mathbb{R})$.

Per essere nel centro, una matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ deve commutare con ogni altra matrice $B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ in $GL(2, \mathbb{R})$.

Calcoliamo il prodotto $AB$ e $BA$ e poniamoli uguali, per trovare le condizioni su $a$, $b$, $c$, e $d$.

\[AB = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}\]

\[BA = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd \end{pmatrix}\]

Affinché $AB = BA$, nel caso delle matrici 2×2 invertibili, il centro è costituito da matrici che non alterano l'effetto delle altre matrici quando vengono moltiplicate insieme.

$$ AB = BA $$

$$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $$

Questo accade con le matrici scalari non nulle, poiché moltiplicare qualsiasi matrice per una matrice scalare lascia inalterata la "direzione" dell'effetto della matrice originale, scalando solo le dimensioni.

Pertanto, $A$ deve essere una matrice diagonale della forma $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ con $a \neq 0$ perché le matrici devono essere invertibili.

$$ AB = BA $$

$$ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} $$

Dove $ a $ è un numero reale qualsiasi.

In conclusione, il centro di $GL(2, \mathbb{R})$ è costituito da tutte le matrici scalari non nulle $aI$, dove $I$ è la matrice identità $2 \times 2$ e $a$ è un numero reale non nullo.

Queste matrici commutano con tutte le altre matrici in $GL(2, \mathbb{R})$ perché la moltiplicazione per uno scalare non altera l'ordine della moltiplicazione delle matrici.

Il centro di un gruppo è sempre un sottogruppo

Il centro di un gruppo $G$, denotato con $Z(G)$, è sempre un sottogruppo di $G$ per via di alcune proprietà fondamentali che soddisfa automaticamente.

Per essere considerato un sottogruppo, un insieme deve soddisfare tre criteri: deve contenere l'elemento neutro del gruppo, deve essere chiuso rispetto all'operazione del gruppo, e deve contenere l'inverso di ogni suo elemento.

Vediamo come il centro di un gruppo soddisfi queste condizioni:

Contiene l'elemento neutro
Per definizione, l'elemento neutro $e$ di un gruppo $G$ commuta con tutti gli elementi di $G$, poiché $eg = ge = g$ per ogni $g \in G$. Questo significa che $e$ appartiene al centro $Z(G)$.
Chiusura rispetto all'operazione del gruppo
Se prendiamo due elementi qualsiasi $a$ e $b$ in $Z(G)$, per ogni $g \in G$ vale che $ag = ga$ e $bg = gb$. Dobbiamo dimostrare che anche il loro prodotto $ab$ commuta con ogni elemento $g$ in $G$, ovvero che $g(ab) = (ab)g$. Dato che $a$ e $b$ commutano con $g$, possiamo riscrivere $$ g(ab) = (ga)b = (ag)b = a(gb) = a(bg) = (ab)g $$ Questo dimostra che $ab$ appartiene a $Z(G)$. Quindi, $Z(G)$ è chiuso rispetto all'operazione di gruppo.
Contiene l'inverso di ogni suo elemento
Se $a$ è in $Z(G)$, allora $a$ commuta con ogni elemento $g$ in $G$, ovvero $ag = ga$. Dobbiamo mostrare che l'inverso di $a$, denotato con $a^{-1}$, è anche in $Z(G)$, il che significa che $a^{-1}$ deve commutare con ogni $g \in G$. Dato che $a$ commuta con $g$, abbiamo $$ ag = ga $$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $ a^{-1} $ a sinistra $$ a^{-1}ag = a^{-1}ga $$ $$ eg = a^{-1}ga $$ $$ g = a^{-1}ga $$ Moltiplichiamo entrambi i membri per $ a^{-1} $ a destra $$ ga^{-1} = a^{-1}gaa^{-1} $$ $$ ga^{-1} = a^{-1}ge $$ $$ ga^{-1} = a^{-1}g $$ Quindi anche $a^{-1}$ appartiene a $Z(G)$.

Queste proprietà dimostrano che il centro di un gruppo soddisfa tutti i criteri per essere un sottogruppo di quel gruppo.

La sua definizione stessa assicura che contenga elementi che hanno proprietà commutative con ogni altro elemento del gruppo, rendendolo automaticamente un sottogruppo secondo le regole della teoria dei gruppi.